Выберите такой знак неравенства, чтобы полученное неравенство выполнялось для любого \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle y^2+4y+4\) \(\displaystyle 0{\small . }\)
Заметим, что в левой части неравенства находится квадрат суммы:
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small . }\)
\(\displaystyle y^2+4y+4=\color {blue} {y}^2+2 \cdot \color{blue} {y} \cdot \color {green} {2}+\color {green} {2}^2=(\color{blue} {y}+\color {green} {2})^2 {\small . }\)
Квадрат числа всегда неотрицателен, то есть
\(\displaystyle (y+2)^2\geqslant 0{\small , }\)
причём равенство достигается только при \(\displaystyle y=-2{\small. }\)
Таким образом,
\(\displaystyle y^2+4y+4\geqslant 0{\small , }\)
причём равенство достигается только при \(\displaystyle y=-2{\small. }\)
Заметим, что выбрав другие знаки неравенства, получим
Ответ: \(\displaystyle y^2+4y+4\geqslant 0{\small . }\)