Выберите такой знак неравенства, чтобы полученное неравенство выполнялось для любого \(\displaystyle a{\small:}\)
\(\displaystyle 15a^2-a+1\) \(\displaystyle 6a^2+5a{\small . }\)
Для того, чтобы сравнить значения выражений
\(\displaystyle 15a^2-a+1\) и \(\displaystyle 6a^2+5a{\small , }\)
составим их разность и сравним её с нулём.
Составим разность выражений и преобразуем её:
\(\displaystyle 15a^2-a+1-(6a^2+5a)=15a^2-a+1-6a^2-5a=9a^2-6a+1{\small . }\)
Заметим, что выражение \(\displaystyle 9a^2-6a+1\)– это квадрат разности:
\(\displaystyle 9a^2-6a+1=(3a-1)^2{\small . }\)
Квадрат числа всегда неотрицателен:
\(\displaystyle (3a-1)^2\geqslant 0{\small , }\)
причём равенство нулю достигается только при \(\displaystyle a=\frac{1}{3}{\small. }\)
Таким образом,
\(\displaystyle 15a^2-a+1-(6a^2+5a)=(3a-1)^2\geqslant 0{\small .}\)
Значит, для любого числа \(\displaystyle a{\small}\) верно неравенство
\(\displaystyle 15a^2-a+1 \geqslant 6a^2+5a{\small , }\)
причём
\(\displaystyle 15a^2-a+1 = 6a^2+5a{\small }\) только при \(\displaystyle a=\frac{1}{3}{\small. }\)
Заметим, что выбрав другие знаки неравенства, получим
Ответ: \(\displaystyle 15a^2-a+1 \geqslant 6a^2+5a{\small . }\)