Для того чтобы сравнить значения выражений \(\displaystyle \color{darkviolet}{-5y^2+9y+4}\) и \(\displaystyle \color{darkorange}{4y^2+3y+5}{\small}\) при любых \(\displaystyle y{\small,}\) составим их разность, преобразуем её и сравним с нулём.
1. Составим разность выражений:
\(\displaystyle \color{darkviolet}{-5y^2+9y+4}-(\color{darkorange}{4y^2+3y+5}){\small.}\)
2. Преобразуем полученное выражение.
Раскроем скобки и приведём подобные:
\(\displaystyle -5y^2+9y+4-(4y^2+3y+5)=-5y^2+9y+4-4y^2-3y-5=-9y^2+6y-1{\small.}\)
Вынесем за скобки общий множитель \(\displaystyle -1\) из первых двух слагаемых:
\(\displaystyle -9y^2+6y-1=-(9y^2-6y)-1{\small .}\)
Теперь выделим в \(\displaystyle 9y^2-6y\) полный квадрат.
\(\displaystyle 9y^2-6y=\)
\(\displaystyle =(\color{blue}{3y})^2 - 2\cdot \color{blue}{3y}\cdot \color{green} {1} =\)
\(\displaystyle =((\color {blue} {3y})^2 - 2\cdot \color {blue} {3y} \cdot \color{green} {1} + \color{green} {1}^2 )- \color{green} {1}^2=\)
\(\displaystyle =(\color {blue} {3y}-\color{green}1)^2 - 1{\small .}\)
Воспользуемся формулой квадрата разности.
ПравилоКвадрат разности
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Для того чтобы в выражении \(\displaystyle 9y^2-6y\) выделить полный квадрат, представим \(\displaystyle 9y^2\) как \(\displaystyle (3y)^2\) и распишем \(\displaystyle 6y\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle (3y)^2 - \color{red}{2}\cdot \frac{6y}{\color{red}{2}} = (3y)^2 - 2\cdot 3y = (3y)^2 - 2\cdot 3y \cdot 1{\small .}\)
Сравним формулу и выражение \(\displaystyle (3y)^2 - 2\cdot 3y \cdot 1{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{a}^2&-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\ (\color{blue}{3y})^2&-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{3y} \cdot \color{green}{1}\,+\,\color{magenta}{?} \end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle a=3y, \, b=1{\small , }\) и надо добавить к последнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{1}^2=\color{magenta}{1}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{a}^2 &-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\ (\color{blue}{3y})^2 &-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{3y} \cdot \color{green}{1}+\color{magenta}{1}{\small .} \end{aligned}\)
Поэтому к выражению \(\displaystyle 9y^2-6y \) прибавим и одновременно вычтем из него число \(\displaystyle \color{magenta}{1}\) так, чтобы в выражении
\(\displaystyle 9y^2-6y\)
получить полный квадрат:
\(\displaystyle (9y^2-6y+\color{magenta}{1})-\color{magenta}{1} = ((\color{blue}{3y})^2 - \color{red}{2}\cdot \color{blue}{3y} \cdot \color{green}{1} + \color{green}{1}^2) -\color{magenta}{1}= (\color{blue}{3y}-\color{green}{1})^2-\color{magenta}{1}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 9y^2-6y = (3y-1)^2-1{\small .}\)
Вернемся к исходному выражению:
\(\displaystyle -(9y^2-6y)-1 = -((3y-1)^2-1)-1{\small .}\)
Преобразуем его:
\(\displaystyle -((3y-1)^2-1)-1 = -(3y-1)^2+1-1 = -(3y-1)^2{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle -5y^2+9y+4-(4y^2+3y+5) = -(3y-1)^2{\small .}\)
3. Определим знак неравенства.
Квадрат числа всегда неотрицателен, то есть
\(\displaystyle (3y-1)^2\geqslant 0{\small ,}\)
причём равенство достигается только при \(\displaystyle y=\frac{1}{3}{\small .}\)
Умножим обе части неравенства на \(\displaystyle -1<0{\small .}\) При этом знак неравенства изменим на противоположный.
Получаем неравенство
\(\displaystyle -(3y-1)^2\leqslant 0{\small ,}\)
верное при любых \(\displaystyle y{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle -5y^2+9y+4-(4y^2+3y+5)= -(3y-1)^2 \leqslant 0{\small .}\)
Значит, для любого числа \(\displaystyle y{\small }\) верно неравенство
\(\displaystyle -5y^2+9y+4 \leqslant 4y^2+3y+5{\small ,}\)
причём
\(\displaystyle -5y^2+9y+4 = 4y^2+3y+5{\small}\) только при \(\displaystyle y=\frac{1}{3}{\small .}\)
Заметим, что выбрав другие знаки неравенства, получим
либо неравенство, которое не выполняется ни для каких \(\displaystyle y{\small ,}\)
Доказано, что при всех значениях \(\displaystyle y{\small }\)
\(\displaystyle -5y^2+9y+4\leqslant 4y^2+3y+5{\small .}\)
Тогда нет таких \(\displaystyle y{\small ,}\) при которых верно неравенство
\(\displaystyle -5y^2+9y+4>4y^2+3y+5{\small .}\)
либо неравенства, которые выполняются не для всех \(\displaystyle y{\small .}\)
Доказано, что для любого числа \(\displaystyle y{\small }\)
\(\displaystyle -5y^2+9y+4\leqslant 4y^2+3y+5{\small ,}\)
причём равенство достигается только при \(\displaystyle y=\frac{1}{3}{\small. }\)
Тогда
- неравенство \(\displaystyle -5y^2+9y+4\geqslant 4y^2+3y+5{\small }\) выполняется только при \(\displaystyle y=\frac{1}{3}{\small ,} \\[-5px]\)
- неравенство \(\displaystyle -5y^2+9y+4<4y^2+3y+5{\small }\) не выполняется только при \(\displaystyle y=\frac{1}{3}{\small.}\)
То есть оба эти неравенства верны не для всех \(\displaystyle y{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -5y^2+9y+4\leqslant 4y^2+3y+5{\small . }\)