Выберите такой знак неравенства, чтобы полученное неравенство выполнялось для любого \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle -x(2x+4)+12x\) \(\displaystyle -x^2+20{\small . }\)
Сравним значения выражений \(\displaystyle \color{darkviolet}{-x(2x+4)+12x}\) и \(\displaystyle \color{darkorange}{-x^2+20}{\small }\) при любых \(\displaystyle x{\small.}\)
Для этого составим их разность, преобразуем её и сравним с нулём.
1. Составим разность выражений:
\(\displaystyle \color{darkviolet}{-x(2x+4)+12x}-(\color{darkorange}{-x^2+20}){\small .}\)
2. Преобразуем полученное выражение.
Раскроем скобки и приведём подобные:
\(\displaystyle \color{black}{-x(2x+4)+12x}-\color{black}{(-x^2+20)}=-2x^2-4x+12x+x^2-20=-x^2+8x-20{\small .}\)
Вынесем за скобки общий множитель \(\displaystyle \color{black}{-1}\) у первых двух слагаемых:
\(\displaystyle -x^2+8x-20= \color{black}{-}(x^2-8x)-20{\small .}\)
Теперь выделим в \(\displaystyle x^2-8x\) полный квадрат.
\(\displaystyle x^2-8x=\)
\(\displaystyle =\color {blue}{x}^2-2\cdot \color {blue}{x} \cdot \color{green}{4} =\)
\(\displaystyle =(\color {blue}{x}^2-2\cdot \color {blue}{x} \cdot \color{green}{4}+\color{green}{4}^2) - \color{green}{4}^2=\)
\(\displaystyle =(\color {blue}{x}-\color{green}{4})^2 -16{\small .}\)
Вернемся к исходному выражению:
\(\displaystyle -(x^2-8x)-20 = -((x-4)^2-16)-20{\small.}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle -((x-4)^2-16)-20 = -(x-4)^2 -(-16)-20{\small.}\)
Далее получаем:
\(\displaystyle -(x-4)^2 +16-20 = -(x-4)^2-4{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle -x^2+8x-20 = -(x-4)^2-4{\small .}\)
3. Теперь сравним с нулём \(\displaystyle -(x-4)^2-4{\small ,}\) а значит и \(\displaystyle -x^2+8x-20{\small .}\)
Таким образом, для любого числа \(\displaystyle x\) верно неравенство
\(\displaystyle -x^2+8x-20 < 0{\small ,}\)
а следовательно и неравенство
\(\displaystyle -x(2x+4)+12x < -x^2+20{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -x(2x+4)+12x \; < \; -x^2+20{\small .}\)