Skip to main content

Теория: 04 Равносторонний треугольник (короткая версия)

Задание

На сторонах \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC\) равностороннего треугольника \(\displaystyle ABC\) отметили соответственно точки \(\displaystyle D{\small,}\) \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle F\) так, что \(\displaystyle AD=BE=CF{\small.}\) \(\displaystyle L\) – точка пересечения отрезков \(\displaystyle AE\) и \(\displaystyle CD{\small,}\) \(\displaystyle M\) – точка пересечения отрезков \(\displaystyle AE\) и \(\displaystyle BF{\small,}\) \(\displaystyle N\) – точка пересечения отрезков \(\displaystyle BF\) и \(\displaystyle CD{\small.}\) Найдите \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle LN{\small,}\) если \(\displaystyle ML=9{\small.}\)

\(\displaystyle MN=\)\(\displaystyle {\small;}\)   \(\displaystyle LN=\)\(\displaystyle {\small.}\)

Решение

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABE{\small,}\) \(\displaystyle BCF\) и \(\displaystyle CAD{\small.}\)

 

  • \(\displaystyle \color{blue}{AB}=\color{blue}{BC}=\color{blue}{AC}\) – стороны равностороннего треугольника;
  • \(\displaystyle \color{red}{BE}=\color{red}{CF}=\color{red}{AD}\) – по условию;
  • \(\displaystyle \color{green}{\angle ABE}=\color{green}{\angle BCF}=\color{green}{\angle CAD}=60^{\circ}\) – углы равностороннего треугольника.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle ABE=\triangle BCF=\triangle CAD\)

по двум сторонам и углу между ними.

 

В равных треугольниках все соответственные элементы равны.

Значит,

\(\displaystyle \color{brown}{\angle BAE}=\color{brown}{\angle CBF}=\color{brown}{\angle ACD}{\small;}\)

\(\displaystyle \color{magenta}{\angle BEA}=\color{magenta}{\angle CFB}=\color{magenta}{\angle ADC}{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ADL{\small,}\) \(\displaystyle BEM\) и \(\displaystyle CFN{\small.}\)

  • \(\displaystyle \color{red}{AD}=\color{red}{BE}=\color{red}{CF}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{brown}{\angle DAL}=\color{brown}{\angle EBM}=\color{brown}{\angle FCN}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{magenta}{\angle ADL}=\color{magenta}{\angle BEM}=\color{magenta}{\angle CFN}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle ADL=\triangle BEM=\triangle CFN\)

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

 

Так как в равных треугольниках все соответственные элементы равны, то

\(\displaystyle \color{blue}{\angle ALD}=\color{blue}{\angle BME}=\color{blue}{\angle CNF}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \color{blue}{\angle NLM}=\color{blue}{\angle LMN}=\color{blue}{\angle MNL}\)

как вертикальные соответственно равным углам.

В результате получаем:

В треугольнике \(\displaystyle LMN\) все углы равны.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle LMN\) – равносторонний.

Значит,

\(\displaystyle ML=MN=LN{\small.}\)


По условию \(\displaystyle ML=9{\small,}\) тогда

\(\displaystyle MN=9{\small;}\)   \(\displaystyle LN=9{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle MN=9{\small;}\) \(\displaystyle LN=9{\small.}\)