Оба конца отрезка \(\displaystyle CD\) длиной \(\displaystyle 7\) принадлежат отрезку \(\displaystyle AB\) длиной \(\displaystyle 15{\small .}\)
Найти наибольшее расстояние между серединами \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) отрезков \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
\(\displaystyle MN=\)
Рассмотрим три точки \(\displaystyle A{\small ,\;}C\) и \(\displaystyle D{\small .}\)
Одна из них лежит между двумя другими, так как все упомянутые в задаче точки принадлежат прямой \(\displaystyle AB{\small .}\)
Найдём расстояние между серединами отрезков \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) при разных вариантах расположения этих точек.
Все рассматриваемые в задаче точки принадлежат отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)
Точка \(\displaystyle A~-\) один из концов этого отрезка и не может лежать между двумя другими его точками.
Из трёх точек только одна может лежать между двумя другими. Отрезок же, кроме самих концов, содержит только точки, лежащие между концами.
Изобразим этот случай на рисунке.
На отрезке \(\displaystyle AB\) длиной \(\displaystyle 15\) отметим концы другого отрезка длиной \(\displaystyle 7{\small .}\) Ближний к точке \(\displaystyle A\) конец этого отрезка обозначим через \(\displaystyle C{\small .}\) Другой \(\displaystyle -\) через \(\displaystyle D{\small .}\)
Обозначим так, как указано в условии, середины отрезков \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\text :}\)
Найдём длину отрезка \(\displaystyle MN{\small .}\)
Для этого вычтем из длины отрезка \(\displaystyle AB\) длины его частей \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BN{\text :}\)
\(\displaystyle MN=AB-AM-BN=15-(AM+BN){\small .}\)
Сумма \(\displaystyle AM+BN~-\) сумма длин половин отрезков соответственно \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small .}\) Значит:
\(\displaystyle MN=15-\frac{1}{2}(AD+BC){\small .}\)
Сумму длин отрезков \(\displaystyle AD+BC\) найдём отдельно. Для этого длину каждого из них представим как сумму длин частей и сгруппируем слагаемые:
\(\displaystyle \begin{aligned}AD+BC=(AC+CD)+(CD+DB)&=(AC+CD+DB)+CD=\\[5px]&=AB+CD=15+7=22{\small .}\end{aligned}\)
Получается,
\(\displaystyle MN=15-\frac{1}{2}(AD+BC)=15-\frac{1}{2}\cdot 22=4{\small .}\)
На отрезке \(\displaystyle AB\) длиной \(\displaystyle 15\) отметим концы другого отрезка длиной \(\displaystyle 7{\small .}\) Ближний к точке \(\displaystyle A\) конец этого отрезка обозначим через \(\displaystyle D{\small .}\) Другой \(\displaystyle -\) через \(\displaystyle C{\small .}\)
Обозначим так, как указано в условии, середины отрезков \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\text :}\)
Отметим, что и на этот раз длина отрезка \(\displaystyle MN\) точно так же представляется через сумму длин отрезков \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\text :}\)
\(\displaystyle MN=AB-AM-BN=15-(AM+BN)=15-\frac{1}{2}(AD+BC){\small .}\)
Но сама сумма длин \(\displaystyle AD+BC\) принимает другое значение:
\(\displaystyle AD+BC=AB-CD=15-7=8{\small .}\)
Получается,
\(\displaystyle MN=15-\frac{1}{2}(AD+BC)=15-\frac{1}{2}\cdot 8=11{\small .}\)
В ответ, согласно требованию задачи, запишем наибольшее из двух полученных значений.
Ответ: \(\displaystyle MN=11{\small .}\)