Skip to main content

Теория: 03 Длина отрезка при неопределённости расположения точек на прямой (короткая версия)

Задание

Сумма расстояний от точки \(\displaystyle C\) до концов отрезка \(\displaystyle AB\) длиной \(\displaystyle 5\) равна \(\displaystyle 13{\small .}\)

Какие значения может принимать длина отрезка \(\displaystyle AC{ \small ,}\) если точки \(\displaystyle A{\small ,\;}B\) и \(\displaystyle C\) принадлежат одной прямой?

Решение

Из трёх точек прямой ровно одна лежит между двумя другими.

Для этой точки можно использовать правило расстояний между точками прямой.

Разберём три случая, в которых на эту роль претендуют обозначения \(\displaystyle A{\small ,\;}B\) и \(\displaystyle C{\small .}\)

1. Точка \(\displaystyle C\) не может лежать между точками \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\)

В противном случае длина отрезка \(\displaystyle AB\) была бы равна сумме расстояний от точки \(\displaystyle C\) до точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small ,}\) то есть тринадцати.

Но по условию его длина равна \(\displaystyle 5 {\small .}\)

2. Пусть точка \(\displaystyle B\) лежит между точками \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small .}\)

По правилу для расстояний между точками прямой можно записать равенство:

\(\displaystyle AB+BC=AC{\small .}\)

По условию \(\displaystyle AB=5{\small .} \)

Кроме того, сумма расстояний от точки \(\displaystyle C\) до концов отрезка \(\displaystyle AB\) равна \(\displaystyle 13{\small .}\) То есть

\(\displaystyle AC =13-BC{\small .}\)

Так как \(\displaystyle AC=AB+BC{ \small ,} \) то, подставляя, получаем:

\(\displaystyle AB+BC =13-BC{\small ,}\)

\(\displaystyle 5+2BC=13{\small ,}\)

\(\displaystyle 2BC=8{\small ,}\)

\(\displaystyle BC=4{\small .} \)

Значит, \(\displaystyle AC=AB+BC=5+4=\color{green}{ 9}{\small .}\)

3. Пусть точка \(\displaystyle A\) лежит между точками \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small .}\)

По правилу для расстояний между точками прямой можно записать равенство:

\(\displaystyle AB+AC=BC{\small .}\)

По условию \(\displaystyle AB=5{\small .} \)

Кроме того, сумма расстояний от точки \(\displaystyle C\) до концов отрезка \(\displaystyle AB\) равна \(\displaystyle 13{\small .}\) То есть

\(\displaystyle BC =13-AC{\small .}\)

Так как \(\displaystyle BC=AB+AC{ \small ,} \) то, подставляя, получаем:

\(\displaystyle AB+AC =13-AC{\small ,}\)

\(\displaystyle 5+2AC=13{\small ,}\)

\(\displaystyle 2AC=8{\small ,}\)

\(\displaystyle AC=\color{green}{ 4}{\small .}\)

Ответ: для искомой длины отрезка возможны значения \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 9{\small .}\)