Skip to main content

Теория: 01 Гомотетия с положительным коэффициентом

Задание

При гомотетии с центром в точке \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=2{,}5\) точка \(\displaystyle A\) переходит в \(\displaystyle A_1\small,\) а точка \(\displaystyle B\) – в \(\displaystyle B_1\small.\)

Чему равно отношение отрезков?

\(\displaystyle \frac{AB}{A_1B_1}=\)
0,4
Решение

При гомотетии с центром в точке \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=2{,}5\) точка \(\displaystyle A\) переходит в \(\displaystyle A_1\small,\) а точка \(\displaystyle B\)  – в \(\displaystyle B_1\small.\)

Тогда выполняются соотношения:

\(\displaystyle OA_1=k\cdot OA\small,\) и \(\displaystyle OB_1=k\cdot OB\small.\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle OAB\) и \(\displaystyle OA_1B_1\small{:}\)

  • \(\displaystyle \frac{OA_1}{OA}=\frac{OB_1}{OB}=k\small,\begin{aligned} \\[15px] \end{aligned}\)
  • \(\displaystyle \angle AOB\) – общий.

Тогда треугольники \(\displaystyle OAB\) и \(\displaystyle OA_1B_1\) подобны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, 

\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}=k=2{,}5{\small;}\)

\(\displaystyle \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{k}=0{,}4\small.\)