Теория: 03 Решение систем из двух квадратных неравенств (короткая версия)

Решим квадратное неравенство  \(\displaystyle x^2-x-6\leqslant 0\) графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2-x-6 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=5{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ 1+5 }{ 2 }=3{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{1-5 }{ 2 }=-2 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2-x-6 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2-x-6\leqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не выше оси \(\displaystyle \rm OX \) (то есть ниже \(\displaystyle \rm OX \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Изобразим множество решений неравенства на прямой:

Решим квадратное неравенство  \(\displaystyle x^2-4x-5\leqslant 0\) графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2-4x-5 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)=36{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=6{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ 4+6 }{ 2 }=5{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{4-6 }{ 2 }=-1 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2-4x-5 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small } { \small .}\)  Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2-4x-5\leqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не выше оси \(\displaystyle \rm OX \) (то есть ниже \(\displaystyle \rm OX \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Изобразим множество решений неравенства на прямой: