Теория: 03 Решение систем из двух квадратных неравенств (короткая версия)

Решим квадратное неравенство  \(\displaystyle x^2+2x-3\leqslant 0\) графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2+2x-3 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=4{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -2+4 }{ 2 }=1{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{-2-4 }{ 2 }=-3 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2+2x-3 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small } { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2+2x-3\leqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не выше оси \(\displaystyle \rm OX \) (то есть ниже \(\displaystyle \rm OX \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Изобразим множество решений неравенства на прямой:

Решим квадратное неравенство  \(\displaystyle x^2+x-12\geqslant 0\) графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2+x-12 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=49{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=7{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -1+7 }{ 2 }=3{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{-1-7 }{ 2 }=-4 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2+x-12 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small } { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2+x-12\geqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не ниже оси \(\displaystyle \rm OX \) (то есть выше \(\displaystyle \rm OX \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Изобразим множество решений неравенства на прямой: