Два вектора \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) неколлинеарны. Найдите числа \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle l\small,\) если выполняется равенство:
\(\displaystyle 5\vec{a}+k\vec{b}=l\vec{a}+3\vec{b}\small.\)
\(\displaystyle k=\) и \(\displaystyle l=\)
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
На плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
По условию векторы \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) неколлинеарны.
Рассмотрим равенство:
\(\displaystyle 5\vec{a}+k\vec{b}=l\vec{a}+3\vec{b}\small.\)
И левая, и правая части являются разложением одного и того же вектора по векторам \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\small.\)
Но коэффициенты разложения определяются единственным образом. Значит,
\(\displaystyle 5=l\) и \(\displaystyle k=3\small.\)
Ответ: \(\displaystyle k=3\) и \(\displaystyle l=5\small.\)