Теория: 04 Уравнение прямой y=kx+b на плоскости и параллельные прямые

Точки \(\displaystyle A(-6;\,3)\) и \(\displaystyle B(-4;\,4)\) имеют разные абсциссы. То есть прямая, проходящая через точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small,\) не вертикальная.

Тогда уравнение прямой \(\displaystyle AB\) можно записать в виде:

\(\displaystyle y=kx+b\small.\)

Последовательно подставляя координаты точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) в это уравнение, получаем систему из двух линейных уравнений:

\(\displaystyle \begin{cases}-6k+b=3,\\-4k+b=4.\end{cases}\)

Решая эту систему, находим:

\(\displaystyle k=\frac{1}{2}\) и \(\displaystyle b=6\small.\)

Тогда уравнение прямой:

\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+6\small.\)

Пусть искомая прямая задается уравнением

\(\displaystyle y=kx+b\small.\)

Она должна быть параллельна прямой \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+6\) с угловым коэффициентом \(\displaystyle \frac{1}{2}\small.\) Значит,

\(\displaystyle k=\frac{1}{2}\small.\)

Прямая \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+b\) проходит через точку \(\displaystyle C(-4;\,2)\small.\) Тогда подставим ее координаты в уравнение и найдем \(\displaystyle b{\small:}\)

\(\displaystyle 2=\frac{1}{2}\cdot(-4)+b\small,\)

\(\displaystyle b=2+2=4\small.\)

То есть искомое уравнение прямой

\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+4\small.\)

Или в общем виде:

\(\displaystyle \frac{1}{2}x-y+4=0\small.\)