Выберите точки, которые лежат внутри окружности, заданной уравнением
\(\displaystyle (x-1)^2+(y-4)^2=25\small.\)
Подставим координаты точки \(\displaystyle M(x_0;\,y_0)\) в левую часть уравнения, тогда
- если \(\displaystyle (x_0-1)^2+(y_0-4)^2=25\small,\) то \(\displaystyle M\) лежит на окружности,
- если \(\displaystyle (x_0-1)^2+(y_0-4)^2<25\small,\) то \(\displaystyle M\) лежит внутри окружности,
- если \(\displaystyle (x_0-1)^2+(y_0-4)^2>25\small,\) то \(\displaystyle M\) лежит вне окружности.
Если \(\displaystyle M\) лежит на окружности, то для ее координат выполняется:
\(\displaystyle (x_0-1)^2+(y_0-4)^2=25\small.\)
Если \(\displaystyle M\) лежит внутри окружности, то можно сказать, что она лежит на окружности меньшего радиуса \(\displaystyle r\small.\) То есть для координат \(\displaystyle M{\small:}\)
\(\displaystyle (x_0-1)^2+(y_0-4)^2=r^2<5^2=25\small.\)
Аналогично, для точки \(\displaystyle M\) вне окружности можно сказать, что она лежит на окружности большего радиуса \(\displaystyle R\small.\) То есть для координат \(\displaystyle M{\small:}\)
\(\displaystyle (x_0-1)^2+(y_0-4)^2=R^2>5^2=25\small.\)
Подставим координаты каждой из точек в левую часть уравнения \(\displaystyle (x-1)^2+(y-4)^2=25{\small:}\)
Подставляя \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle y=4\) в левую часть уравнения, получаем:
\(\displaystyle (2-1)^2+(4-4)^2=1<25\small.\)
Значит, точка с координатами \(\displaystyle (2;\,4)\) лежит внутри окружности.
Подставляя \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle y=-4\) в левую часть уравнения, получаем:
\(\displaystyle (2-1)^2+(-4-4)^2=65>25\small.\)
Значит, точка с координатами \(\displaystyle (2;\,-4)\) лежит вне окружности.
Ответ: \(\displaystyle (2;\,4)\) и \(\displaystyle (0;\,0)\small.\)