Напишите уравнение окружности, проходящей через точки \(\displaystyle A(-5;0)\) и \(\displaystyle B(-2;3)\small,\) если известно, что ее центр лежит на оси абсцисс.
Окружность с центром \(\displaystyle O(x_0;\,y_0)\) и радиусом \(\displaystyle R\) задается уравнением
\(\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\small.\)
1. Обозначим координаты центра окружности за \(\displaystyle (x_0;\,y_0)\small,\) а радиус – \(\displaystyle R\small.\)
Центр окружности лежит на оси абсцисс. То есть ордината центра равна \(\displaystyle 0{\small:}\)
\(\displaystyle y_0=0\small.\)
Подставим в уравнение окружности:
\(\displaystyle (x-x_0)^2+y^2=R^2\small.\)
2. Точки \(\displaystyle A(-5;0)\) и \(\displaystyle B(-2;3)\) принадлежат окружности. Значит, если подставить их координаты в уравнение, получатся верные равенства.
Подставим координаты точки \(\displaystyle A(-5;\,0)\small{:}\)
\(\displaystyle (-5-x_0)^2+0^2=R^2\small.\)
Подставим координаты точки \(\displaystyle B(-2;\,3)\small{:}\)
\(\displaystyle (-2-x_0)^2+3^2=R^2\small.\)
\(\displaystyle \begin{cases}25+10x_0+x_0^2=R^2\small,\\13+4x_0+x_0^2=R^2\small.\end{cases}\)
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы сократить \(\displaystyle R\small{:}\)
\(\displaystyle (25+10x_0+x_0^2)-(13+4x_0+x_0^2)=R^2-R^2\small.\)
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
\(\displaystyle 25+10x_0+\cancel{x_0^2}-13-4x_0-\cancel{x_0^2}=R^2-R^2\small,\)
\(\displaystyle 12+6x_0=0\small,\)
\(\displaystyle x_0=-2\small.\)
Подставим найденное значение в первое уравнение и найдем \(\displaystyle R\small{:}\)
\(\displaystyle 25+10\cdot(-2)+(-2)^2=R^2\small,\)
\(\displaystyle R^2=9\small.\)
Радиус окружности неотрицательное число, значит,
\(\displaystyle R=3\small.\)
Подставляя \(\displaystyle x_0=-2\) и \(\displaystyle R=3\small,\) получаем искомое уравнение окружности:
\(\displaystyle (x+2)^2+y^2=9\small.\)
Ответ: \(\displaystyle (x+2)^2+y^2=9\small.\)