Найдите координаты точек пересечения окружности \(\displaystyle x^2+(y-2)^2=10\) и прямой \(\displaystyle y=2x+7\small.\)
Если точка лежит и на предложенной окружности, и на прямой, то для ее координат выполняются оба условия:
\(\displaystyle \begin{cases}x^2+(y-2)^2=10,\\y=2x+7.\end{cases}\)
Выразите \(\displaystyle y\) через \(\displaystyle x\small,\) используя второе уравнение, и подставьте в первое. Получится квадратное уравнение на абсциссы точек пересечения:
Решите уравнение и найдите абсциссы точек пересечения:
Если точка лежит и на предложенной окружности, и на прямой, то для ее координат выполняются оба условия:
\(\displaystyle \begin{cases}x^2+(y-2)^2=10,\\y=2x+7.\end{cases}\)
\(\displaystyle \left[\begin{aligned}x_1=-3,\,y_1=1,\\x_2=-1,\,y_2=5.\end{aligned}\right.\)
Подставим \(\displaystyle y=2x+7\) из второго уравнения в первое:
\(\displaystyle x^2+((2x+7)-2)^2=10\small.\)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle x^2+(2x+5)^2=10\small,\)
\(\displaystyle x^2+\left((2x)^2+2\cdot(2x)\cdot5+5^2\right)=10\small,\)
\(\displaystyle x^2+4x^2+20x+25=10\small,\)
\(\displaystyle 5x^2+20x+15=0\small,\)
Разделим левую и правую часть на \(\displaystyle 5{\small:}\)
\(\displaystyle x^2+4x+3=0\small.\)
Решим квадратное уравнение.
Дискриминант квадратного уравнения равен:
\(\displaystyle {\rm D}=4^2-4\cdot3=4\) и \(\displaystyle {\rm\sqrt{D}}=\sqrt{4}=2\small.\)
Тогда решения квадратного уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-4-2}{2}=-3\) и \(\displaystyle x_2=\frac{-4+2}{2}=-1\small.\)
Используя, что \(\displaystyle y=2x+7{ \small ,}\) находим решения системы:
\(\displaystyle \left[\begin{aligned}x_1=-3,\,y_1=1,\\x_2=-1,\,y_2=5.\end{aligned}\right.\)
Получаем две точки пересечения окружности и прямой:
\(\displaystyle A(-3;\,1),\,B(-1;\,5)\small.\)