Найдите координаты точек пересечения окружности \(\displaystyle x^2+(y-2)^2=10\) и прямой \(\displaystyle y=x+2\small.\)
Если точка лежит и на предложенной окружности, и на прямой, то для ее координат выполняются оба условия:
\(\displaystyle \begin{cases}x^2+(y-2)^2=10,\\y=x+2.\end{cases}\)
\(\displaystyle \left[\begin{aligned}x_1=\sqrt5,\,y_1=2+\sqrt5,\\x_2=-\sqrt5,\,y_2=2-\sqrt5.\end{aligned}\right.\)
Подставим \(\displaystyle y=x+2\) из второго уравнения в первое:
\(\displaystyle x^2+((x+2)-2)^2=10\small.\)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle x^2+(x)^2=10\small,\)
\(\displaystyle x^2+x^2=10\small,\)
\(\displaystyle x^2=5\small.\)
Тогда решения квадратного уравнения:
\(\displaystyle x_1=\sqrt5\) и \(\displaystyle x_2=-\sqrt5\small.\)
Используя, что \(\displaystyle y=x+2{ \small ,}\) находим решения системы:
\(\displaystyle \left[\begin{aligned}x_1=\sqrt5,\,y_1=2+\sqrt5,\\x_2=-\sqrt5,\,y_2=2-\sqrt5.\end{aligned}\right.\)
Получаем две точки пересечения окружности и прямой:
\(\displaystyle A(\sqrt5;\,2+\sqrt5),\,B(-\sqrt5;\,2-\sqrt5)\small.\)