Найдите произведение многочленов:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(\color{blue}{2x^{\,2}y^{\,3}}+\color{green}{3yz^{\,2}}\,\right)\cdot \left(3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-4xz^{\,4}\,\right)=\\[10px]\kern{11em} =\color{blue}{2x^{\,2}y^{\,3}}\cdot \left(3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-4xz^{\,4}\,\right)+\color{green}{3yz^{\,2}} \cdot \left(3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-4xz^{\,4}\,\right){\small .}\end{array}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{2x^{\,2}y^{\,3}}\cdot \left(3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-4xz^{\,4}\,\right)+\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot \left(3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-4xz^{\,4}\,\right)=\\[10px]\kern{3em} =\color{blue}{2x^{\,2}y^{\,3}}\cdot 3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-\color{blue}{2x^{\,2}y^{\,3}}\cdot 4xz^{\,4}+\left(\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 4xz^{\,4}\,\right)=\\[10px]\kern{3em} =\left(2\cdot 3\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x^{\,3}\right)\cdot \left(\,y^{\,3}\cdot y^{\,2}\right)\cdot z^{\,2}-\left(2\cdot 4\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x\,\right)\cdot y^{\,3}\cdot z^{\,4}+\\[5px]\kern{5em} +\left(\left(3\cdot 3\right)\cdot x^{\,3}\cdot \left(\,y\cdot y^{\,2}\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,2}\right)-\left(3\cdot 4\right)\cdot x\cdot y\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,4}\right)\right)=\\[10px]\kern{8em} =6\cdot x^{\,2+3}\cdot y^{\,3+2}\cdot z^{\,2}-8\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,3}\cdot z^{\,4}+\\[5px]\kern{15em}+\left(9\cdot x^{\,3}\cdot y^{\,1+2}\cdot z^{\,2+2}-12\cdot x\cdot y\cdot z^{\,2+4}\right)=\\[10px]\kern{15em} =6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}-8x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}+\left(9x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}-12xyz^{\,6}\right){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{aligned}6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}-8x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}+\left(9x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}-12xyz^{\,6}\right)=\\[10px]=6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}-8x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}+9x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}-12xyz^{\,6}{\small .}\end{aligned}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены:
\(\displaystyle \begin{array}{l}6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}-8\color{blue}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}+9\color{blue}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}-12xyz^{\,6}=\\[10px]\kern{5em}=6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}+\left(-8\color{blue}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}+9\color{blue}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}\right)-12xyz^{\,6}=\\[10px]\kern{9em}=6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}+\left(-8+9\right)\color{blue}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}-12xyz^{\,6}=\\[10px]\kern{13em}=6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}+\color{blue}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}-12xyz^{\,6}{\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \left(2x^{\,2}y^{\,3}+3yz^{\,2}\right)\left(3x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-4xz^{\,4}\right)=6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}+x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}-12xyz^{\,6}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 6x^{\,5}y^{\,5}z^{\,2}+x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}-12xyz^{\,6}{\small .}\)