Найдите квадрат многочлена:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
Сначала перепишем степень многочлена \(\displaystyle 2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\) в виде произведения:
\(\displaystyle \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)^2=\left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)\left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right){\small .}\)
Теперь нам нужно перемножить скобки. Для этого сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(\color{blue}{2x^{\,3}y}-\color{green}{3yz^{\,2}}+\color{red}{2xz^{\,3}}\right)\cdot \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{6em} =\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)-\color{green}{3yz^{\,2}} \cdot \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)+\\[10px]\kern{20em} +\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right){\small .}\end{array}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)-\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)+\\[5px]\kern{20em}+\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot \left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{1.5em} =\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot 2x^{\,3}y-\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot 3yz^{\,2}+\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot 2xz^{\,3}-\\[5px]\kern{8em}-\left(\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 2x^{\,3}y-\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 3yz^{\,2}+\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 2xz^{\,3}\right)+\\[5px]\kern{15em} +\left(\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot 2x^{\,3}y-\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot 3yz^{\,2}+\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot 2xz^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{1em} =\left(2\cdot 2\right)\cdot \left(x^{\,3}\cdot x^{\,3}\right)\cdot \left(\,y\cdot y\,\right)-\left(2\cdot 3\right)\cdot x^{\,3}\cdot \left(\,y\cdot y\,\right)\cdot z^{\,2}+\left(2\cdot 2\right)\cdot \left(x^{\,3}\cdot x\,\right)\cdot y\cdot z^{\,3}-\\[5px]\kern{1em} -\big(\left(3\cdot 2\right)\cdot x^{\,3}\cdot \left(\,y\cdot y\,\right)\cdot z^{\,2}-\left(3\cdot 3\right)\cdot \left(\,y\cdot y\,\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,2}\right)+\left(3\cdot 2\right)\cdot x\cdot y\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,3}\right)\big)+\\[5px]\kern{1em} +\big(\left(2\cdot 2\right)\cdot \left(x\cdot x^{\,3}\right)\cdot y\cdot z^{\,3}-\left(2\cdot 3\right)\cdot x\cdot y\cdot \left(z^{\,3}\cdot z^{\,2}\right)+\left(2\cdot 2\right)\cdot \left(x\cdot x\,\right)\cdot \left(z^{\,3}\cdot z^{\,3}\right)\big)=\\[10px]\kern{1.5em} =4\cdot x^{\,3+3}\cdot y^{\,1+1}-6\cdot x^{\,3}\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2}+4\cdot x^{\,3+1}\cdot y\cdot z^{\,3}-\\[5px]\kern{7em} -\left(6\cdot x^{\,3}\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2}-9\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2+2}+6\cdot x\cdot y\cdot z^{\,2+3}\right)+\\[5px]\kern{13em} +\left(4\cdot x^{\,1+3}\cdot y\cdot z^{\,3}-6\cdot x\cdot y\cdot z^{\,3+2}+4\cdot x^{\,1+1}\cdot z^{\,3+3}\right)=\\[10px]\kern{5em} =4x^{\,6}y^{\,2}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+4x^{\,4}yz^{\,3}-\left(6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-9y^{\,2}z^{\,4}+6xyz^{\,5}\right)+\\[5px]\kern{19em} +\left(4x^{\,4}yz^{\,3}-6xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}\right){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки.
Так как перед первыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\kern{3em}4x^{\,6}y^{\,2}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+4x^{\,4}yz^{\,3}-\left(6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-9y^{\,2}z^{\,4}+6xyz^{\,5}\right)+\\[5px]\kern{16em}+\left(4x^{\,4}yz^{\,3}-6xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}\right)=\\[10px]\kern{3em} =4x^{\,6}y^{\,2}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+4x^{\,4}yz^{\,3}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+9y^{\,2}z^{\,4}-6xyz^{\,5}+\\[5px]\kern{18em} -4x^{\,4}yz^{\,3}\,-6xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}4x^{\,6}y^{\,2}-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+9y^{\,2}z^{\,4}-\\[5px]\kern{15em} -6\color{red}{xyz^{\,5}}+4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}-6\color{red}{xyz^{\,5}}+4x^{\,2}z^{\,6}=\\[10px]\kern{2em} =4x^{\,6}y^{\,2}+\left(-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}\right)+\left(4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}+4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}\right)+9y^{\,2}z^{\,4}+\\[5px]\kern{18em}+\left(-6\color{red}{xyz^{\,5}}-6\color{red}{xyz^{\,5}}\right)+4x^{\,2}z^{\,6}=\\[10px]\kern{2em} =4x^{\,6}y^{\,2}+\left(-6-6\right)\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+\left(4+4\right)\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}+9y^{\,2}z^{\,4}+\\[5px]\kern{20em}+\left(-6-6\right)\color{red}{xyz^{\,5}}+4x^{\,2}z^{\,6}=\\[10px]\kern{5em} =4x^{\,6}y^{\,2}-12\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+8\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}+9y^{\,2}z^{\,4}-12\color{red}{xyz^{\,5}}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{array}{l}\kern{8em}\left(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\right)^2=\\[10px]=4x^{\,6}y^{\,2}-12x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+8x^{\,4}yz^{\,3}+9y^{\,2}z^{\,4}-12xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle 4x^{\,6}y^{\,2}-12x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+8x^{\,4}yz^{\,3}+9y^{\,2}z^{\,4}-12xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\)