Найдите произведение многочленов:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(\color{blue}{x^{\,5}y^{\,2}}-\color{green}{2x^{\,7}yz^{\,4}}+\color{red}{3y^{\,6}z^{\,3}}\right)\cdot \left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right)=\\[10px]\kern{1em} =\color{blue}{x^{\,5}y^{\,2}}\cdot \left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right)-\color{green}{2x^{\,7}yz^{\,4}} \cdot \left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right)+\\[10px]\kern{18em} +\color{red}{3y^{\,6}z^{\,3}}\cdot \left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right){\small .}\end{array}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x^{\,5}y^{\,2}}\cdot \left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right)-\color{green}{2x^{\,7}yz^{\,4}}\cdot \left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right)+\\[5px]\kern{16em} +\color{red}{3y^{\,6}z^{\,3}}\cdot \left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right)=\\[10px]\kern{3em} =\color{blue}{x^{\,5}y^{\,2}}\cdot 2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+\color{blue}{x^{\,5}y^{\,2}}\cdot 3y^{\,4}z^{\,4}+\color{blue}{x^{\,5}y^{\,2}}\cdot 3x^{\,5}z-\\[5px]\kern{7em} -\left(\color{green}{2x^{\,7}yz^{\,4}}\cdot 2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+\color{green}{2x^{\,7}yz^{\,4}}\cdot 3y^{\,4}z^{\,4}+\color{green}{2x^{\,7}yz^{\,4}}\cdot 3x^{\,5}z\,\right)+\\[5px]\kern{11em} +\left(\color{red}{3y^{\,6}z^{\,3}}\cdot 2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+\color{red}{3y^{\,6}z^{\,3}}\cdot 3y^{\,4}z^{\,4}+\color{red}{3y^{\,6}z^{\,3}}\cdot 3x^{\,5}z\,\right)=\\[10px] =2\cdot \left(x^{\,5}\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(\,y^{\,2}\cdot y^{\,3}\right)\cdot z^{\,8}+3\cdot x^{\,5}\cdot \left(\,y^{\,2}\cdot y^{\,4}\right)\cdot z^{\,4}+3\cdot \left(x^{\,5}\cdot x^{\,5}\right)\cdot y^{\,2}\cdot z\,-\\[5px]\kern{2em} -\big(\left(2\cdot 2\right)\cdot \left(x^{\,7}\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(\,y\cdot y^{\,3}\right)\cdot \left(z^{\,4}\cdot z^{\,8}\right)+\left(2\cdot 3\right)\cdot x^{\,7}\cdot \left(\,y\cdot y^{\,4}\right)\cdot \left(z^{\,4}\cdot z^{\,4}\right)+\\[5px]\kern{4em} +\left(2\cdot 3\right)\cdot \left(x^{\,7}\cdot x^{\,5}\right)\cdot y\cdot \left(z^{\,4}\cdot z\,\right)\big)+\big(\left(3\cdot 2\right)\cdot x^{\,2}\cdot \left(\,y^{\,6}\cdot y^{\,3}\right)\cdot \left(z^{\,3}\cdot z^{\,8}\right)+\\[5px]\kern{6em} +\left(3\cdot 3\right)\cdot \left(\,y^{\,6}\cdot y^{\,4}\right)\cdot \left(z^{\,3}\cdot z^{\,4}\right)+\left(3\cdot 3\right)\cdot x^{\,5}\cdot y^{\,6}\cdot \left(z^{\,3}\cdot z\,\right)\big)=\\[10px]\kern{3em} =2\cdot x^{\,5+2}\cdot y^{\,2+3}\cdot z^{\,8}+3\cdot x^{\,5}\cdot y^{\,2+4}\cdot z^{\,4}+3\cdot x^{\,5+5}\cdot y^{\,2}\cdot z\,-\\[5px]\kern{5em} -\left(4\cdot x^{\,7+2}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,4+8}+6\cdot x^{\,7}\cdot y^{\,1+4}\cdot z^{\,4+4}+6\cdot x^{\,7+5}\cdot y\cdot z^{\,4+1}\right)+\\[5px]\kern{8em} +\left(6\cdot x^{\,2}\cdot y^{\,6+3}\cdot z^{\,3+8}+9\cdot y^{\,6+4}\cdot z^{\,3+4}+9\cdot x^{\,5}\cdot y^{\,6}\cdot z^{\,3+1}\right)=\\[10px]\kern{3em} =2x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}+3x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}+3x^{\,10}y^{\,2}z-\left(4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}+6x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}+6x^{\,12}yz^{\,5}\right)+\\[5px]\kern{18em} +\left(6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}+9x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}\right){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки.
Так как перед первыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle \begin{array}{l}2x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}+3x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}+3x^{\,10}y^{\,2}z-\left(4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}+6x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}+6x^{\,12}yz^{\,5}\right)+\\[5px]\kern{15em} +\left(6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}+9x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}\right)=\\[10px]\kern{2em} =2x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}+3x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}+3x^{\,10}y^{\,2}z-4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}-6x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}-6x^{\,12}yz^{\,5}+\\[5px]\kern{15em} +6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}+9x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}{\small .}\end{array}\)
Преобразуем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены:
\(\displaystyle \begin{array}{l}2\color{blue}{x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}}+3\color{green}{x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}}+3x^{\,10}y^{\,2}z-4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}-6\color{blue}{x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}}-6x^{\,12}yz^{\,5}+\\[5px]\kern{15em} +6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}+9\color{green}{x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}}=\\[10px]\kern{3em} =\left(2\color{blue}{x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}}-6\color{blue}{x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}}\right)+\left(3\color{green}{x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}}+9\color{green}{x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}}\right)+3x^{\,10}y^{\,2}z\,-\\[5px]\kern{15em} -4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}-6x^{\,12}yz^{\,5}+6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}=\\[10px]\kern{3em} =\left(2-6\right)\color{blue}{x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}}+\left(3+9\right)\color{green}{x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}}+3x^{\,10}y^{\,2}z-4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}-\\[5px]\kern{15em} -6x^{\,12}yz^{\,5}+6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}=\\[10px]=-4\color{blue}{x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}}+12\color{green}{x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}}+3x^{\,10}y^{\,2}z-4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}-6x^{\,12}yz^{\,5}+6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}{\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{array}{l}\kern{3em} \left(x^{\,5}y^{\,2}-2x^{\,7}yz^{\,4}+3y^{\,6}z^{\,3}\right)\left(2x^{\,2}y^{\,3}z^{\,8}+3y^{\,4}z^{\,4}+3x^{\,5}z\,\right)=\\[10px]=-4x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}+12x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}+3x^{\,10}y^{\,2}z-4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}-6x^{\,12}yz^{\,5}+6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}{\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle -4x^{\,7}y^{\,5}z^{\,8}+12x^{\,5}y^{\,6}z^{\,4}+3x^{\,10}y^{\,2}z-4x^{\,9}y^{\,4}z^{\,12}-6x^{\,12}yz^{\,5}+6x^{\,2}y^{\,9}z^{\,11}+9y^{\,10}z^{\,7}{\small .}\)