Skip to main content

Теория: Умножение многочлена на многочлен

Задание

Найдите произведение многочленов:
 

\(\displaystyle \left(2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}-3x^{\,4}y^{\,5}z+4x^{\,2}yz^{\,7}\right)\left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)=\)
\(\displaystyle =\)
-5x^6y^6z^4+14x^5y^4z^7-6x^7y^8z+12x^4y^2z^{10}


В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение

Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(\color{blue}{2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}-\color{green}{3x^{\,4}y^{\,5}z}+\color{red}{4x^{\,2}yz^{\,7}}\right)\cdot \left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{8em} =\color{blue}{2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}\cdot \left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)-\color{green}{3x^{\,4}y^{\,5}z} \cdot \left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)+\\[10px]\kern{18em} +\color{red}{4x^{\,2}yz^{\,7}}\cdot \left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right){\small .}\end{array}\)

 

Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}\cdot \left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)-\color{green}{3x^{\,4}y^{\,5}z}\cdot \left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)+\\[5px]\kern{18em} +\color{red}{4x^{\,2}yz^{\,7}}\cdot \left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)=\\[10px] =\color{blue}{2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}\cdot 2x^{\,3}y^{\,3}+\color{blue}{2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}}\cdot 3x^{\,2}yz^{\,3}-\left(\color{green}{3x^{\,4}y^{\,5}z}\cdot 2x^{\,3}y^{\,3}+\color{green}{3x^{\,4}y^{\,5}z}\cdot 3x^{\,2}yz^{\,3}\right)+\\[5px]\kern{18em} +\left(\color{red}{4x^{\,2}yz^{\,7}}\cdot 2x^{\,3}y^{\,3}+\color{red}{4x^{\,2}yz^{\,7}}\cdot 3x^{\,2}yz^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{2em} =\left(2\cdot 2\right)\cdot \left(x^{\,3}\cdot x^{\,3}\right)\cdot \left(\,y^{\,3}\cdot y^{\,3}\right)\cdot z^{\,4}+\left(2\cdot 3\right)\cdot \left(x^{\,3}\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(\,y^{\,3}\cdot y\,\right)\cdot \left(z^{\,4}\cdot z^{\,3}\right)-\\[10px]\kern{2em} -\big(\left(3\cdot 2\right)\cdot \left(x^{\,4}\cdot x^{\,3}\right)\cdot \left(\,y^{\,5}\cdot y^{\,3}\right)\cdot z+\left(3\cdot 3\right)\cdot \left(x^{\,4}\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(\,y^{\,5}\cdot y\,\right)\cdot \left(z\cdot z^{\,3}\right)\big)+\\[10px]\kern{2em} +\big(\left(4\cdot 2\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x^{\,3}\right)\cdot \left(\,y\cdot y^{\,3}\right)\cdot z^{\,7}+\left(4\cdot 3\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(\,y\cdot y\,\right)\cdot \left(z^{\,7}\cdot z^{\,3}\right)\big)=\\[10px]\kern{2em} =4\cdot x^{\,3+3}\cdot y^{\,3+3}\cdot z^{\,4}+6\cdot x^{\,3+2}\cdot y^{\,3+1}\cdot z^{\,4+3}-\\[5px]\kern{8em}-\left(6\cdot x^{\,4+3}\cdot y^{\,5+3}\cdot z+9\cdot x^{\,4+2}\cdot y^{\,5+1}\cdot z^{\,1+3}\right)+\\[5px]\kern{14em} +\left(8\cdot x^{\,2+3}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,7}+12\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,7+3}\right)=\\[10px]\kern{4em} =4x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}+6x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}-\left(6x^{\,7}y^{\,8}z+9x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}\right)+\left(8x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}\right){\small .}\end{array}\)

 

Раскроем скобки. Так как перед первыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:

\(\displaystyle \begin{array}{l}4x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}+6x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}-\left(6x^{\,7}y^{\,8}z+9x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}\right)+\left(8x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}\right)=\\[10px]\kern{2em} =4x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}+6x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}-6x^{\,7}y^{\,8}z-9x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}+8x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}{\small .}\end{array}\)

 

Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены:

\(\displaystyle \begin{array}{l}4\color{blue}{x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}}+6\color{green}{x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}}-6x^{\,7}y^{\,8}z-9\color{blue}{x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}}+8\color{green}{x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}}+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}=\\[10px]\kern{1em} =\left(4\color{blue}{x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}}-9\color{blue}{x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}}\right)+\left(6\color{green}{x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}}+8\color{green}{x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}}\right)-6x^{\,7}y^{\,8}z+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}=\\[10px]\kern{2em} =\left(4-9\right)\color{blue}{x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}}+\left(6+8\right)\color{green}{x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}}-6x^{\,7}y^{\,8}z+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}=\\[10px]\kern{5em} =-5\color{blue}{x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}}+14\color{green}{x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}}-6x^{\,7}y^{\,8}z+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}{\small .}\end{array}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,4}-3x^{\,4}y^{\,5}z+4x^{\,2}yz^{\,7}\right)\left(2x^{\,3}y^{\,3}+3x^{\,2}yz^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{9em} =-5x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}+14x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}-6x^{\,7}y^{\,8}z+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}{\small .}\end{array}\)

Ответ: \(\displaystyle -5x^{\,6}y^{\,6}z^{\,4}+14x^{\,5}y^{\,4}z^{\,7}-6x^{\,7}y^{\,8}z+12x^{\,4}y^{\,2}z^{\,10}{\small .}\)