На координатной плоскости нарисовали параллелограмм \(\displaystyle ABCD\small.\) Координаты его вершин: \(\displaystyle A(0;\,0),\,B(2;\,3),\,C(6;\,3),\,D(4;\,0)\small.\) Вне параллелограмма взяли точку \(\displaystyle M\small.\) Найдите
Сделаем рисунок к задаче. Точки на координатной плоскости на этом рисунке будут иметь координаты:
\(\displaystyle A(0;\,0),\,B(2;\,3),\,C(6;\,3),\,D(4;\,0)\small.\)
Пусть точка \(\displaystyle M \) имеет координаты \(\displaystyle (x;\,y)\small.\)
- \(\displaystyle AM^2=x^2+y^2\small,\)
- \(\displaystyle BM^2=(x-2)^2+(y-3)^2\small,\)
- \(\displaystyle CM^2=(x-6)^2+(y-3)^2\small,\)
- \(\displaystyle DM^2=(x-4)^2+y^2\small.\)
Подставляя в выражение, предложенное в условии, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}&AM^2+CM^2-BM^2-DM^2=\\&=(x^2+\cancel{y^2})+((x-6)^2+\cancel{(y-3)^2})-((x-2)^2+\cancel{(y-3)^2})-((x-4)^2+\cancel{y^2})\small.\end{aligned}\)
Упростив выражение, получаем:
\(\displaystyle x^2+(x-6)^2-(x-2)^2-(x-4)^2\small.\)
\(\displaystyle x^2+(x-6)^2-(x-2)^2-(x-4)^2=16\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 16\small.\)