Skip to main content

Теория: 11 Метод координат (короткая версия)

Задание

Дан ромб \(\displaystyle ABCD\small,\) диагонали которого равны \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 8\small.\) Найдите множество всех точек \(\displaystyle M\small,\) для каждой из которых

\(\displaystyle AM^2+DM^2=BM^2+CM^2\small.\)

Выберите верный ответ:

Решение

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Тогда введем прямоугольную систему координат так, чтобы

  • диагональ \(\displaystyle AC\) лежала на оси абсцисс,
  • диагональ \(\displaystyle BD\) лежала на оси ординат.

В этом случае координаты точек: \(\displaystyle A(-4;\,0),\,B(0;\,3),\,C(4;\,0),\,D(0;\,-3)\small.\)

Пусть точка \(\displaystyle M \) имеет координаты \(\displaystyle (x;\,y)\small.\)

Тогда, используя формулу расстояния между точками, находим:

  • \(\displaystyle AM^2=(x+4)^2+y^2\small,\)
  • \(\displaystyle BM^2=x^2+(y-3)^2\small,\)
  • \(\displaystyle CM^2=(x-4)^2+y^2\small,\)
  • \(\displaystyle DM^2=x^2+(y+3)^2\small.\)

Подставляя в выражение \(\displaystyle AM^2+DM^2=BM^2+CM^2\small,\) предложенное в условии, получаем:

\(\displaystyle (x+4)^2+\cancel{y^2}+\cancel{x^2}+(y+3)^2=\cancel{x^2}+(y-3)^2+(x-4)^2+\cancel{y^2}\small.\)

Упростив выражение, получаем:

\(\displaystyle (x+4)^2+(y+3)^2=(y-3)^2+(x-4)^2\small.\)

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

\(\displaystyle y=-\frac{4}{3}x\small.\)

Таким образом, все точки \(\displaystyle M\) из условия лежат на прямой, заданной уравнением

\(\displaystyle y=-\frac{4}{3}x\small.\)


Определим, является ли эта прямая параллельной или перпендикулярной одной из сторон. Для этого вычислим угловые коэффициенты прямых, содержащих стороны ромба:

1. Прямая \(\displaystyle AB\) задается уравнением:

\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x+3\small.\)

2. Прямая \(\displaystyle BC\) задается уравнением:

\(\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+3\small.\)

Ни у одной из прямых, содержащих стороны ромба, угловой коэффициент не совпадает с угловым коэффициентом прямой \(\displaystyle y=-\frac{4}{3}x\small.\) Значит, среди этих прямых нет параллельных.
Заметим, что

\(\displaystyle -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = -1\small.\)

Тогда прямая \(\displaystyle y=-\frac{4}{3}x\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle y=\frac{3}{4}x+3\small.\)

Таким образом, все точки \(\displaystyle M\) образуют прямую, проходящую через центр ромба и перпендикулярную стороне \(\displaystyle AB\small.\)

Ответ: Все точки \(\displaystyle M\) образуют прямую, проходящую через центр ромба и перпендикулярную стороне \(\displaystyle AB\small.\)

Замечание / комментарий

Если изменить положение ромба относительно координатных осей, то уравнение искомой прямой будет другим. Однако это всегда будет прямая, проходящая через центр ромба и перпендикулярная стороне \(\displaystyle AB\small.\)