Skip to main content

Теория: Задачи (короткая версия)

Задание

Медианы треугольника имеют длину \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 5\) и пересекаются под углом \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\) Найдите площадь треугольника.

\(\displaystyle S=\)
\frac{20}{3}
Решение

Построим рисунок к задаче:

В треугольнике

  • медиана \(\displaystyle AM=5\small,\)
  • медиана \(\displaystyle BN=4\small,\)
  • \(\displaystyle \angle BOM=30^\circ\small.\)

Чтобы решить задачу, найдем площади треугольников \(\displaystyle AOB,\,BOC\) и \(\displaystyle AOC\small.\)

Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения \(\displaystyle 2:1\small.\)

То есть:

  • \(\displaystyle AO=\frac{2}{3} \cdot 5=\frac{10}{3}\small,\)  \(\displaystyle OM=\frac{1}{3} \cdot 5=\frac{5}{3}\small,\\ \)
  • \(\displaystyle BO=\frac{2}{3} \cdot 4=\frac{8}{3}\small,\)  \(\displaystyle ON=\frac{1}{3} \cdot 4=\frac{4}{3}\small.\)

1. \(\displaystyle S_{AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO \cdot \sin 150^\circ=\frac{20}{9}\small.\)

Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Длины сторон \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle BO\) известны. Найдем величину угла \(\displaystyle AOB\small{:}\)

\(\displaystyle \angle AOB=180^\circ-\angle BOM=180^\circ-30^\circ=150^\circ\small.\)

Подставим найденные значения в формулу:

\(\displaystyle S_{AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO \cdot \sin 150^\circ=\frac{1}{2}\cdot \frac{10}{3}\cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{20}{9}\small.\)

2. \(\displaystyle S_{BOC}=2\cdot S_{BOM}=OM\cdot BO \cdot \sin 30^\circ=\frac{20}{9}\small.\)

Треугольник \(\displaystyle BOC\) состоит из треугольников \(\displaystyle COM\) и \(\displaystyle BOM\small,\) которые имеют одинаковую площадь:

  • \(\displaystyle CM=BM\small,\) так как \(\displaystyle AM\) – медиана,
  • \(\displaystyle OH\) – общая высота.

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned} S_{BOC}=2\cdot S_{BOM}&=2\cdot \frac{1}{2}\cdot OM\cdot BO \cdot \sin 30^\circ \\&=\frac{5}{3}\cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{20}{9}\small.\end{aligned}\)

3. \(\displaystyle S_{AOC}=2\cdot S_{AON}=ON\cdot AO \cdot \sin 30^\circ=\frac{20}{9}\small.\)

Теперь можем вычислить площадь треугольника \(\displaystyle ABC\small{:}\) 

\(\displaystyle S_{ABC}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{AOC}=\frac{20}{9}+\frac{20}{9}+\frac{20}{9}=\frac{20}{3}\small.\)


Ответ: \(\displaystyle S_{ABC}=\frac{20}{3}\small.\)

Замечание / комментарий

Информация

Медианы треугольника делят его на \(\displaystyle 6\) треугольников одинаковой площади.

Тогда для решения задачи достаточно найти площадь одного из маленьких треугольников:

\(\displaystyle \begin{aligned} S_{ABC}&=6\cdot S_{OBM} =6\cdot \frac{1}{2} \cdot OM \cdot OB \cdot \sin30^\circ= \\[10px]&= 3\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{20}{3}\small.\end{aligned}\)