Решите уравнение:
\(\displaystyle -3x^4-30x^2=0\small.\)
\(\displaystyle x=\)
Решим уравнение
\(\displaystyle -3x^4-30x^2=0\small.\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle -3x^2\) в левой части уравнения:
\(\displaystyle -3x^4-30x^2=-3x^2(x^2+10)\small.\)
Получим
\(\displaystyle -3x^2(x^2+10)=0{\small .}\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные множители при этом не теряют смысла.
Следовательно,
\(\displaystyle -3x^2=0\) или \(\displaystyle x^2+10=0{\small .}\)
Решим каждое из полученных уравнений.
1. Уравнение \(\displaystyle -3x^2=0{\small . } \)
\(\displaystyle -3x^2=0{\small ; } \)
\(\displaystyle x^2=0{\small ; } \)
\(\displaystyle x\cdot x=0{\small . } \)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит,
\(\displaystyle x=0{\small . } \)
2. Решим уравнение \(\displaystyle x^2+10=0{\small . } \)
Покажем, что полученное уравнение не имеет корней.
Если \(\displaystyle x\) положительно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+10\small\) положительно. Значит, положительное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.
Если \(\displaystyle x\) отрицательно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+10\small\) положительно. Значит, отрицательное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.
Если \(\displaystyle x=0\small,\) то \(\displaystyle x^2+10=0^2+10=10\small\) положительно. Значит, число \(\displaystyle 0\) не может быть корнем.
Таким образом, никакое число не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2+10=0\small.\)
Итак, корнем уравнения \(\displaystyle -3x^4-30x^2=0\small\) является число \(\displaystyle 0 {\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle 0 {\small . } \)