Решите задачу на готовом чертеже:
Треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) подобны: \(\displaystyle \angle A=\angle A_1{\small,}\) \(\displaystyle \angle B=\angle B_1{\small,}\) \(\displaystyle \angle C=\angle C_1{\small.}\)
По данному рисунку найдите значения \(\displaystyle x{\small,}\) \(\displaystyle y{\small,}\) \(\displaystyle z{\small, }\) если известно, что \(\displaystyle P_{\triangle A_1B_1C_1}=54{\small.}\)
\(\displaystyle x=\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle y=\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle z=\)\(\displaystyle {\small.}\)
\(\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(\displaystyle P_{\triangle A_1B_1C_1}=54{\small.}\)
В подобных треугольниках сходственные стороны лежат напротив соответственно равных углов.
Следовательно,
\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=k{\small,}\)
где \(\displaystyle k\) – коэффициент подобия.
То есть
\(\displaystyle \frac{x}{10}=\frac{y}{9}=\frac{z}{8}=k{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle x=10k{\small;}\) \(\displaystyle y=9k{\small;}\) \(\displaystyle z=8k{\small.}\)
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Значит,
\(\displaystyle P_{\triangle A_1B_1C_1}=x+y+z=10k+9k+8k=27k{\small.}\)
Подставим \(\displaystyle P_{\triangle A_1B_1C_1}=54{\small.}\)
\(\displaystyle 54=27k{\small;}\)
\(\displaystyle k=2{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle x=10k=10 \cdot 2=20{\small;}\)
\(\displaystyle y=9k=9 \cdot 2=18{\small;}\)
\(\displaystyle z=8k=8 \cdot 2=16{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x=20{\small;}\) \(\displaystyle y=18{\small;}\) \(\displaystyle z=16{\small.}\)