Skip to main content

Теория: Коэффициент подобия. (на готовых чертежах) (короткая версия)

Задание

Решите задачу на готовом чертеже:

Треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) подобны: \(\displaystyle \angle A=\angle A_1{\small,}\) \(\displaystyle \angle B=\angle B_1{\small,}\) \(\displaystyle \angle C=\angle C_1{\small.}\)

По данному рисунку найдите значения \(\displaystyle x{\small,}\) \(\displaystyle y{\small,}\) \(\displaystyle z{\small, }\) если известно, что \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=90{\small,}\) \(\displaystyle P_{\triangle A_1B_1C_1}=36{\small,}\) \(\displaystyle a:b=3:2{\small.}\)

\(\displaystyle x=\)\(\displaystyle {\small;}\)     \(\displaystyle y=\)\(\displaystyle {\small;}\)     \(\displaystyle z=\)\(\displaystyle {\small.}\)

Решение

По условию

\(\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1{\small.}\)

В подобных треугольниках сходственные стороны лежат напротив соответственно равных углов.

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k{\small,}\)

где \(\displaystyle k\) – коэффициент подобия.

То есть

\(\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{11}=k {\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle x=ak{\small;}\)     \(\displaystyle y=bk{\small;}\)     \(\displaystyle z=11k{\small.}\)

Найдём значение \(\displaystyle k{\small.}\)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Значит,

\(\displaystyle k=\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle A_1B_1C_1}}{\small.}\)

 

Подставим \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=90{\small,}\) \(\displaystyle P_{\triangle A_1B_1C_1}=36{\small:}\)

\(\displaystyle k=\frac{90}{36}=\frac{5}{2}{\small.}\)

Найдём значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

  • По условию \(\displaystyle a:b=3:2{\small,}\) значит, 

\(\displaystyle a=3t{\small;}\)     \(\displaystyle b=2t{\small.}\)

  • Периметр треугольника \(\displaystyle A_1B_1C_1\) равен \(\displaystyle 36{\small,}\) значит,

\(\displaystyle 3t+2t+11=36{\small;}\)

\(\displaystyle 5t=25{\small;}\)

\(\displaystyle t=5{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle a=3t=3 \cdot 5=15{\small;}\)

\(\displaystyle b=2t=2 \cdot 5=10{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle x=ak=15 \cdot \frac{5}{2}=\frac{75}{2}=37{,}5{\small;}\\ \)

\(\displaystyle y=bk=10 \cdot \frac{5}{2}=\frac{50}{2}=25{\small;}\\ \)

\(\displaystyle z=11k=11 \cdot \frac{5}{2}=\frac{55}{2}=27{,}5{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle x=37{,}5{\small;}\) \(\displaystyle y=25{\small;}\) \(\displaystyle z=27{,}5{\small.}\)