Skip to main content

Теория: Задачи-1 (короткая версия)

Задание

Окружность радиуса \(\displaystyle 1\) касается двух катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на три равные части. Найдите площадь этого треугольника.

\(\displaystyle S=\)

Решение

Построим рисунок к задаче:

Обозначим вершины треугольника, а также точки касания и пересечения сторон треугольника и окружности.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, найдем его катеты.

1. Покажем, что \(\displaystyle AK=AL=1\small.\)

Так как касательные перпендикулярны радиусу, то в четырехугольнике \(\displaystyle OKAL\) есть минимум четыре прямых угла:

\(\displaystyle \angle KAL=\angle ALO=\angle AKO=90^{\circ}\small.\)

То есть \(\displaystyle OKAL\) – прямоугольник. Отрезки \(\displaystyle OK\) и \(\displaystyle OL\) – радиусы:

\(\displaystyle OK=OL=1\small.\)

Значит, \(\displaystyle OKAL\) – квадрат со стороной \(\displaystyle 1\) и

\(\displaystyle AK=AL=1\small.\)

2. Найдем длину отрезков \(\displaystyle CK\) и \(\displaystyle BL{\small:}\)

\(\displaystyle CK=BL=2\small.\)

Обозначим треть гипотенузы за \(\displaystyle x{\small:}\)

\(\displaystyle CN=NM=BM=x\small.\)

Воспользуемся тем, что произведение отрезков секущих равно квадрату касательной.

Тогда для точки \(\displaystyle C\) и окружности получаем:

\(\displaystyle CK^2=CN\cdot CM=x\cdot2x=2x^2\small,\)

\(\displaystyle CK=x\sqrt{2}\small.\)

И для точки \(\displaystyle B\) получаем:

\(\displaystyle BL^2=BM\cdot BN=x\cdot2x=2x^2\small,\)

\(\displaystyle BL=x\sqrt{2}\small.\)

 

Значит, в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC{\small:}\)

  • катеты равны \(\displaystyle 1+x\sqrt{2}\small,\)
  • гипотенуза равна \(\displaystyle 3x\small.\)

 

    Тогда по теореме Пифагора:

    \(\displaystyle (3x)^2=\left(1+x\sqrt{2}\right)^2+\left(1+x\sqrt{2}\right)^2\small,\)

    \(\displaystyle (3x)^2=2\left(1+x\sqrt{2}\right)^2\small.\)

    Длины отрезков положительны, поэтому извлечем квадратный корень из обеих частей и найдем \(\displaystyle x{\small:}\)

    \(\displaystyle 3x=\sqrt{2}\left(1+x\sqrt{2}\right)\small,\)

    \(\displaystyle 3x=\sqrt{2}+2x\small,\)

    \(\displaystyle x=\sqrt{2}\small.\)

    Тогда

    \(\displaystyle CK=BL=x\sqrt{2}=2\small.\)

    Получаем, что катеты треугольника \(\displaystyle ABC{\small:}\)

    \(\displaystyle AC=AB=AL+LB=1+2=3\small.\)

    Тогда его площадь равна:

    \(\displaystyle S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{3\cdot3}{2}=4{,}5\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle 4{,}5\small.\)