Skip to main content

Теория: Задачи-1 (короткая версия)

Задание

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) катеты равны \(\displaystyle AB=6,\,AC=8\small.\) Вписанная окружность касается катета \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle L\small.\) Отрезок \(\displaystyle CL\) пересекает окружность второй раз в точке \(\displaystyle N\small.\) Найдите отношение

\(\displaystyle \frac{CN}{NL}=\)
\frac{9}{8}
Решение

Построим рисунок к задаче:

Сразу отметим, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(\displaystyle 8\) и \(\displaystyle 6\) гипотенуза равна

\(\displaystyle \sqrt{8^2+6^2}=10\small.\)

Тогда, чтобы решить задачу:

  • найдем длины отрезков, на которые вписанная окружность делит стороны;
  • найдем длину отрезка \(\displaystyle CL{\small;}\)
  • найдем необходимое отношение отрезков.

1. Зная длины всех сторон треугольника, можно найти отрезки, на которые вписанная окружность делит стороны:

\(\displaystyle AL=AM=2\small,\) \(\displaystyle BL=BK=4\small,\) \(\displaystyle CM=CK=6\small.\)

Обозначим радиус вписанной окружности \(\displaystyle r\small.\)

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Тогда

  • \(\displaystyle AL=AM=r\small,\)
  • \(\displaystyle BL=BK=6-r\small,\)
  • \(\displaystyle CM=CK=8-r\small.\)

Кроме этого, отрезки \(\displaystyle BK\) и \(\displaystyle CK\) в сумме дают гипотенузу \(\displaystyle BC\small{:}\)

\(\displaystyle 6-r+8-r=10\small.\)

Отсюда находим \(\displaystyle r=2\small.\) Тогда для всех отрезков касательных получаем:

  • \(\displaystyle AL=AM=2\small,\)
  • \(\displaystyle BL=BK=4\small,\)
  • \(\displaystyle CM=CK=6\small.\)

    2. По теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle ACL\) найдем длину отрезка \(\displaystyle CL\small{:}\)

    \(\displaystyle CL=\sqrt{AL^2+AC^2}=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}\small.\)

    3. Теперь воспользуемся тем, что произведение отрезков секущих равно квадрату касательной.

    Для секущей \(\displaystyle CK\) и касательной \(\displaystyle CL\small{:}\)

    \(\displaystyle \color{blue}{CK^2}=\color{green}{CN}\cdot \color{green}{CL}\small,\)

    \(\displaystyle 6^2=CN \cdot \sqrt{68}\small,\)

    \(\displaystyle CN=\frac{36}{\sqrt{68}}\small.\)

    Тогда

     \(\displaystyle NL=CL-CN=\sqrt{68}-\frac{36}{\sqrt{68}}=\frac{32}{\sqrt{68}}\small.\)

    Теперь найдем отношение длин отрезков \(\displaystyle CN\) и \(\displaystyle NL\small{:}\)

    \(\displaystyle \frac{CN}{NL}=\frac{36}{\sqrt{68}}:\frac{32}{\sqrt{68}}=\frac{36}{32}=\frac{9}{8}\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle \frac{CN}{NL}=\frac{9}{8}\small.\)