Основания трапеции \(\displaystyle ABCD\) равны \(\displaystyle AD=10\) и \(\displaystyle BC=3{\small,}\) а диагонали \(\displaystyle AC=12\) и \(\displaystyle BD=5{\small.}\) Найдите угол, под которым пересекаются диагонали этой трапеции.
Выполним дополнительное построение.
Проведем через \(\displaystyle C\) отрезок \(\displaystyle CK\small,\) параллельный \(\displaystyle BD\small.\)
Так как \(\displaystyle BD \parallel CK\) и \(\displaystyle BC \parallel DK\small,\) то четырехугольник \(\displaystyle BCKD\) – параллелограмм.
Значит, \(\displaystyle CK=BD=5\) и \(\displaystyle DK=BC=3\small.\)
Заметим, что сумма квадратов меньших сторон треугольника \(\displaystyle ACK\) равна квадрату большей:
\(\displaystyle 12^2+5^2=13^2{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ACK=90^{\circ}\small.\)
По построению \(\displaystyle CK \parallel BD\small,\) следовательно, соответственные углы равны:
\(\displaystyle \angle AOD=\angle ACK=90^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\)