Skip to main content

Теория: 08 Уравнения в целых числах

Задание

Решите уравнение в целых числах:

\(\displaystyle (x-3)(y+2)=1\small.\)

 

Решениями уравнения являются пары чисел:

\(\displaystyle x=\)
4
\(\displaystyle {\small,}\ \ y=\)
-1
\(\displaystyle {\small;}\)
\(\displaystyle x=\)
2
\(\displaystyle {\small,}\ \ y=\)
-3
\(\displaystyle {\small.}\)

 

Решение

Требуется решить уравнение

\(\displaystyle (x-3)(y+2)=1\small\)

в целых числах.

 

Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) целые, то числа \(\displaystyle (x-3)\) и \(\displaystyle (y+2)\) также целые.

Значит, мы представляем число \(\displaystyle 1\) в виде произведения двух целых чисел.

Если множители натуральные, то есть только один вариант:

\(\displaystyle 1\cdot 1 =1\small;\)

\(\displaystyle x-3=1, y+2=1\small;\)

\(\displaystyle x=4, y=-1\small.\)

 

Если один из множителей отрицателен, то и второй тоже отрицателен, и получается еще одно решение

\(\displaystyle (-1)\cdot (-1) =1\small;\)

\(\displaystyle x-3=-1, y+2=-1\small;\)

\(\displaystyle x=2, y=-3\small.\)


Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:   

\(\displaystyle x=4, y=-1\small;\)   \(\displaystyle x=2, y=-3\small.\)


Ответ: \(\displaystyle x=4, y=-1\small;\)   \(\displaystyle x=2, y=-3\small.\)