Решите уравнение в целых числах:
\(\displaystyle xy+2x-3y=11\small.\)
Решениями уравнения являются пары чисел (введите только необходимое количество различных решений, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется):
В левой части уравнения сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель:
\(\displaystyle (xy+2x)-3y=11\small,\)
\(\displaystyle x(y+2)-3y=11\small.\)
Вместо \(\displaystyle 3y\) хочется получить \(\displaystyle 3(y+2)\small,\) чтобы разложить на множители левую часть.
Так как
\(\displaystyle 3(y+2)=3y+6\small,\)
можно вычесть из обеих частей число \(\displaystyle 6\small,\) а затем разложить на множители левую часть.
\(\displaystyle x(y+2)-3y-6=11-6\small,\)
\(\displaystyle x(y+2)-3(y+2)=5\small,\)
\(\displaystyle (x-3)(y+2)=5\small.\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (x-3)(y+2)=5\small\)
в целых числах.
Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) целые, то числа \(\displaystyle (x-3)\) и \(\displaystyle (y+2)\) также целые.
Значит, мы представляем число \(\displaystyle 5\) в виде произведения двух целых чисел.
Если множители натуральные, то есть только два варианта:
\(\displaystyle 1\cdot 5=5\) и \(\displaystyle 5\cdot 1 =5\small;\)
\(\displaystyle x-3=1, y+2=5\) и \(\displaystyle x-3=5, y+2=1\small;\)
\(\displaystyle x=4, y=3\) и \(\displaystyle x=8, y=-1\small.\)
Если один из множителей отрицателен, то и второй тоже отрицателен, и получаются еще два решения
\(\displaystyle (-1)\cdot (-5)=5\) и \(\displaystyle (-5)\cdot (-1) =5\small;\)
\(\displaystyle x-3=-1, y+2=-5\) и \(\displaystyle x-3=-5, y+2=-1\small;\)
\(\displaystyle x=2, y=-7\) и \(\displaystyle x=-2, y=-3\small.\)
Таким образом, исходное уравнение имеет четыре решения:
\(\displaystyle x=4, y=3\small;\) \(\displaystyle x=8, y=-1\small;\) \(\displaystyle x=2, y=-7\small;\) \(\displaystyle x=-2, y=-3\small.\)
Ответ: \(\displaystyle x=4, y=3\small;\) \(\displaystyle x=8, y=-1\small;\) \(\displaystyle x=2, y=-7\small;\) \(\displaystyle x=-2, y=-3\small.\)