Решите уравнение в целых числах:
\(\displaystyle 2x^2-3xy-4x+6y=-3\small.\)
Решениями уравнения являются пары чисел:
Разложим левую часть уравнения на множители:
\(\displaystyle 2x^2-3xy-4x+6y=-3\small,\)
\(\displaystyle (2x^2-3xy)-(4x-6y)=-3\small,\)
\(\displaystyle x(2x-3y)-2(2x-3y)=-3\small,\)
\(\displaystyle (x-2)(2x-3y)=-3\small.\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (x-2)(2x-3y)=-3\small\)
в целых числах.
Так как \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) целые, то числа \(\displaystyle (x-2)\) и \(\displaystyle (2x-3y)\) также целые.
Значит, мы представляем число \(\displaystyle -3\) в виде произведения двух целых чисел.
Если первый множитель положительный, то есть только два варианта:
\(\displaystyle 1\cdot (-3)=-3\) и \(\displaystyle 3\cdot (-1) =-3\small;\)
\(\displaystyle x-2=1, 2x-3y=-3\) и \(\displaystyle x-2=3, 2x-3y=-1\small;\)
\(\displaystyle x=3, 2x-3y=-3\) и \(\displaystyle x=5, 2x-3y=-1\small;\)
\(\displaystyle x=3, 6-3y=-3\) и \(\displaystyle x=5, 10-3y=-4\small;\)
\(\displaystyle x=3, 3y=9\) и \(\displaystyle x=5, 10-3y=-4\small;\)
\(\displaystyle x=3, y=3\) и \(\displaystyle x=5, -3y=-14\small.\)
В первом случае получается решение \(\displaystyle x=3, y=3\small.\)
Во втором случае целых значений \(\displaystyle y\small\) не получится, решений в целых числах в этом случае нет.
Если первый множитель отрицателен, то получаются еще два варианта:
\(\displaystyle (-1)\cdot 3=-3\) и \(\displaystyle (-3)\cdot 1 =-3\small;\)
\(\displaystyle x-2=-1, 2x-3y=3\) и \(\displaystyle x-2=-3, 2x-3y=1\small;\)
\(\displaystyle x=1, 2x-3y=3\) и \(\displaystyle x=-1, 2x-3y=1\small;\)
\(\displaystyle x=1, 2-3y=3\) и \(\displaystyle x=-1, -2-3y=1\small;\)
\(\displaystyle x=1, -3y=1\) и \(\displaystyle x=-1, -3y=3\small;\)
\(\displaystyle x=1, -3y=1\) и \(\displaystyle x=-1, y=-1\small;\)
В первом случае целых значений \(\displaystyle y\small\) не получится, решений в целых числах в этом случае нет.
Во втором случае получается решение \(\displaystyle x=-1, y=-1\small.\)
Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:
\(\displaystyle x=3, y=3\small;\) \(\displaystyle x=-1, y=-1\small.\)
Ответ: \(\displaystyle x=3, y=3\small;\) \(\displaystyle x=-1, y=-1\small.\)