01Математика - 7 класс. Геометрия - Свойства углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей (короткая версия)

Задание

При пересечении двух прямых секущей образовалось несколько углов. Некоторые из них пронумеровали.

Первый и второй углы образуют пару накрест лежащих углов. Сумма их величин равна \(\displaystyle 167\degree {\small .}\)

Второй и третий, а также первый и четвёртый углы образуют пары односторонних углов.

Найдите сумму величин третьего и четвёртого углов.

\(\displaystyle \degree \)

Решение

Сделаем примерный рисунок в соответствии с условиями задачи. Используем при этом представления о накрест лежащих и односторонних углах.

Пары углов при пересечении двух прямых третьей

Пусть две прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) пересечены третьей прямой \(\displaystyle p\) в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) соответственно. В этой ситуации прямая \(\displaystyle p\) рассматривается как секущая, от лучей которой отложены восемь неразвёрнутых углов.

Для некоторых пар этих углов приняты специальные названия.

двумя способами

образуются пары накрест лежащих углов

двумя способами

образуются пары односторонних углов

четырьмя способами

образуются пары соответственных углов

Для удобства можно пронумеровать все восемь углов. На рисунке показан пример такой нумерации.

Номер каждого угла написан в его внутренней области неподалёку от вершины.

Тогда, например, угол с номером \(\displaystyle 1\) образует:

с углом номер \(\displaystyle 7\) пару накрест лежащих углов при пересечении прямых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) секущей \(\displaystyle p\,{\text ;}\)
с углом номер \(\displaystyle 6\) пару односторонних углов при пересечении прямых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) секущей \(\displaystyle p\,{\text ;}\)
с углом номер \(\displaystyle 5\) пару соответственных углов при пересечении прямых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) секущей \(\displaystyle p{\small .}\)

Проведём две прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) так, чтобы точка их пересечения не попадала на рисунок.

Добавим пересекающую их обеих в пределах рисунка прямую \(\displaystyle l{\small .}\)

Выберем произвольную пару накрест лежащих углов при пересечении прямых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) секущей \(\displaystyle l{\small .}\) Присвоим этим углам номера \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 2{\small .}\)

Найдём на рисунке, отметим и пронумеруем односторонние с ними углы \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 3{\small .}\)

Воспользуемся свойством смежных углов, чтобы найти сумму величин всех четырёх отмеченных углов.

На рисунке отмечены четыре угла, образующие две пары смежных: углы с номерами \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 3\), а также \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 4{\small .}\)

Сумма величин смежных углов равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)

Значит, сумма всех четырёх отмеченных углов равна \(\displaystyle 2\cdot 180\degree =360\degree {\small .}\)

Найдём сумму величин углов с номерами \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 4\) как разность суммы величин всех четырёх углов и известной суммы величин углов с номерами \(\displaystyle 1\)и \(\displaystyle 2{\small .}\)

\(\displaystyle \angle 3+\angle 4=360\degree -(\angle 1+\angle 2)=360\degree - 167\degree =193\degree \)

Ответ: \(\displaystyle 193\degree {\small .}\)

Теория: 02 Свойства углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей (короткая версия)