Уравнение \(\displaystyle 3x^2 - 5x - 7 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2{\small .}\) Найдите \(\displaystyle x_1^2x_2 + x_1x_2^2{\small .}\)
Разложим выражение \(\displaystyle x_1^2x_2 + x_1x_2^2\) на множители:
\(\displaystyle x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 \cdot (x_1 + x_2) {\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle x_1^2x_2 + x_1x_2^2\) выражается через произведение и сумму корней \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) уравнения.
Найдём \(\displaystyle x_1 x_2\) и \(\displaystyle x_1 + x_2 {\small ,}\) не вычисляя самих корней, по теореме Виета.
Теорема Виета
Если\(\displaystyle x_1\) и\(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения\(\displaystyle \color{red}{a}x^2 + \color{green}{b}x + \color{blue}{c}=0{\small ,}\)
то для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2& = -\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{a}}{ \small ,}\\[10px]x_1 \cdot x_2& = \frac{\color{blue}{c}}{\color{red}{a}} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Для уравнения \(\displaystyle 3x^2 - 5x - 7 = 0\) получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2& = \frac{5}{3}{ \small ,}\\x_1 x_2& = -\frac{7}{3}{\small .}\end{aligned}\right. \)
Тогда
\(\displaystyle x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 \cdot (x_1 + x_2) = -\frac{7}{3} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{35}{9}{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{35}{9}{ \small .}\)
\(\displaystyle x_1^2x_2 + x_1x_2^2\) можно вычислить, отыскав корни уравнения\(\displaystyle 3x^2 - 5x - 7 = 0{\small .}\)
Однако, в данном случае это приведёт к громоздким вычислениям с радикалами, так как дискриминант
\(\displaystyle {\rm D} = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 25 + 84 = 109\)
не является полным квадратом.