Уравнение \(\displaystyle x^2 - 7x + 2 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2{\small .}\)
Найдите \(\displaystyle x_1 x_2(x_1 + x_2)^2{\small .}\)
Выражение \(\displaystyle x_1 x_2(x_1 + x_2)^2\) зависит только от суммы и произведения корней уравнения.
Поэтому можем воспользоваться теоремой Виета.
Теорема Виета
Если\(\displaystyle x_1\) и\(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения\(\displaystyle \color{red}{a}x^2 + \color{green}{b}x + \color{blue}{c}=0{\small ,}\)
то для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2& = -\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{a}}{ \small ,}\\[10px]x_1 \cdot x_2& = \frac{\color{blue}{c}}{\color{red}{a}} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Для уравнения \(\displaystyle x^2 - 7x + 2 = 0\) получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2& = 7{ \small ,}\\x_1 x_2& = 2{\small .}\end{aligned}\right. \)
Тогда
\(\displaystyle x_1 x_2(x_1 + x_2)^2 = 2 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 98{ \small .}\)