Цифра единиц двузначного числа на \(\displaystyle 2\) меньше цифры его десятков, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного от перестановки его цифр, равна \(\displaystyle 8874{\small.}\) Найдите это двузначное число.
1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).
Пусть \(\displaystyle x\) – первая цифра (цифра десятков) в записи исходного двузначного числа, \(\displaystyle y\) – вторая цифра (цифра единиц).
Тогда
- \(\displaystyle \overline {xy}\)– исходное число, его можно представить в виде:
\(\displaystyle \overline {xy}=10\cdot x+y{\small;}\)
- \(\displaystyle \overline {yx}\)– второе число, полученное в результате перестановки цифр исходного числа, его можно представить в виде:
\(\displaystyle \overline {yx}=10\cdot y+x{\small.}\)
По условию, вторая цифра числа на \(\displaystyle 2\) меньше первой, то есть
\(\displaystyle y = x - 2{\small.}\)
Получаем:
- исходное число
\(\displaystyle \overline {xy} = 10x + (x - 2) = \blue{11x - 2}{\small;}\)
- второе число
\(\displaystyle \overline {yx} = 10(x - 2) + x = 10x - 20 + x = \green {11x - 20}{\small .}\)
По условию, cумма квадратов первого и второго числа равна \(\displaystyle 8874{\small.}\) Приходим к уравнению:
\(\displaystyle \blue{(11x - 2)^2} + \green{(11x - 20)^2} = 8874{\small .}\)
2. Решим данное уравнение.
Сначала преобразуем его к более простому виду. Получим квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2 - 2x - 35 = 0{\small .}\)
\(\displaystyle x_1 = 7 \) и \(\displaystyle x_2 = -5{\small }\) – корни данного уравнения.
3. Ответим на вопрос задачи.
За \(\displaystyle x\) обозначили первую цифру числа.
Так как \(\displaystyle x\)– цифра, то из двух найденных значений подходит только \(\displaystyle x = 7\).
Вторая цифра на \(\displaystyle 2\) меньше первой, значит, равна \(\displaystyle 5{\small .}\) Тогда искомое двузначное число равно \(\displaystyle 75{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 75{\small .}\)