Теория: 11 Применение дробно-рациональных неравенств для нахождения значения переменной согласно заданным условиям (область определения функции)

Решим квадратное уравнение: 

\(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{4}=2{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-4)+2}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-4)-2}{2}=\frac{2}{2}=1{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle x=3 \) и \(\displaystyle x=1 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small .} \)

\(\displaystyle x-2=0{\small ,}\)

\(\displaystyle x=2{\small .}\)

Поскольку неравенство нестрогое, то 

• все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
• все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Значит,  \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=3\) обозначаются закрашенными точками, а \(\displaystyle x=2 \) – выколотой.

По правилу

получаем

\(\displaystyle x^2-4x+3=(x-\color{blue}{1})(x-\color{blue}{3}){ \small .}\)

Из интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\) 

\(\displaystyle f(10)=\frac{(10-1)(10-3)}{ 10-2}=\frac{9 \cdot 7}{ 8}>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{ x-2}\)

• все линейные множители входят в нечётной степени.

Значит, знаки функции на интервалах чередуются.