При каких значениях \(\displaystyle x\) не имеет смысла выражение
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x}{ 2x-4}}+\sqrt{5-x}\,{\small ?} \)
\(\displaystyle x \in \)
Требуется найти значения переменной \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых выражение
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x}{ 2x-4}}+\sqrt{5-x}\,{\small ?} \)
не имеет смысла.
Заметим, что любом значении переменной \(\displaystyle x\) заданное выражение либо имеет смысл, либо нет.
Поэтому решим задачу в 2 шага:
Шаг 1. Найдём \(\displaystyle \rm A\) – множество значений \(\displaystyle x{\small , }\)при которых заданное выражение имеет смысл.
Шаг 2. Найдем \(\displaystyle \rm B\) – множество значений \(\displaystyle x{\small , }\)при которых заданное выражение не имеет смысла как дополнение множества \(\displaystyle A\) до множества действительных чисел \(\displaystyle \R\) \(\displaystyle (\rm B=\R \setminus \rm A){\small . }\)
Шаг 1. Так как квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, выражение
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x}{ 2x-4}}+\sqrt{5-x}{\small } \)
имеет смысл, если одновременно выполнены два неравенства:
\(\displaystyle \frac{x}{ 2x-4}\geqslant 0\) и \(\displaystyle 5-x\geqslant 0{\small .} \)
Значит, требуется решить систему неравенств:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned}5-x&\geqslant0{\small , }\\\frac{x}{ 2x-4}&\geqslant 0{\small . }\end{aligned} \right. \)
Решим каждое из неравенств системы.
Решение линейного неравенства \(\displaystyle 5-x\geqslant0{\small :}\)
\(\displaystyle x\leqslant 5{\small .}\)
Решение дробно-рационального неравенства \(\displaystyle \frac{x}{ 2x-4}\geqslant 0{\small :}\)
\(\displaystyle x \leqslant 0 {\small ;}\)\(\displaystyle x > 2{\small .}\)
Найдём пересечение полученных решений:
Видим, что решение системы неравенств – это объединение промежутков \(\displaystyle (-\infty;0] \cup(2;5] {\small .}\)
Значит, \(\displaystyle \color{#9933cc}{ \rm A }=\color{#9933cc}{(-\infty;0] \cup(2;5] }{\small .} \)
Шаг 2. Найдём \(\displaystyle \color{#009933}{\rm B}=\R \setminus \color{#9933cc}{\rm A}{\small . }\)
Для этого изобразим множество \(\displaystyle \color{#9933cc}{\rm A}\) на числовой прямой:
В множество \(\displaystyle \color{#009933}{\rm B}\) входят все точки числовой прямой, не входящие в множество \(\displaystyle \color{#9933cc}{\rm A}{\small . }\)
Заметим, что
- \(\displaystyle x=0\) и \(\displaystyle x=5\) принадлежат множеству \(\displaystyle \color{#9933cc}{\rm A}{\small , }\)поэтому не принадлежат множеству \(\displaystyle \color{#009933}{\rm B}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x=2\) не принадлежит множеству \(\displaystyle \color{#9933cc}{\rm A}{\small , }\)поэтому принадлежит множеству \(\displaystyle \color{#009933}{\rm B}{\small . }\)
Изобразим на числовой прямой все полученные точки:
Значит, \(\displaystyle \color{#009933}{\rm B} =\color{#009933}{(0;2] \cup (5;+\infty) }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x \in (0;2] \cup (5;+\infty) {\small .} \)