Так как квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, то выражение
\(\displaystyle \sqrt{\frac{ x^2-4x+3}{ x-2}}{\small } \)
имеет смысл, если \(\displaystyle {\frac{ x^2-4x+3}{ x-2}}\geqslant 0{\small ,} \) и не имеет смысла, если
\(\displaystyle {\frac{ x^2-4x+3}{ x-2}}< 0{\small .} \)
Кроме того, исходное выражение не имеет смысла, если
\(\displaystyle x-2= 0{\small ,} \)
то есть при \(\displaystyle x=2{\small .} \)
Решим неравенство
\(\displaystyle {\frac{ x^2-4x+3}{ x-2}}< 0{\small } \)
методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя \(\displaystyle x^2-4x+3{\small :} \)\(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=1{\small .}\)
Решим квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small .}\)
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= (-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{4}=2{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1= \frac{-(-4)+2}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-4)-2}{2}=\frac{2}{2}=1{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle x=3 \) и \(\displaystyle x=1 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small .} \)
Нули знаменателя \(\displaystyle x-2{\small :} \)\(\displaystyle x=2{\small .}\)
\(\displaystyle x-2=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x=2{\small .}\)
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую найденные значения и получим \(\displaystyle 4\) интервала:
Поскольку неравенство строгое, то
- все нули числителя и знаменателя обозначаются выколотыми.
Значит, \(\displaystyle x=1{\small ,} \, x=2\) и \(\displaystyle x=3\) обозначаются выколотыми точками.
Шаг 3. Перепишем неравенство \(\displaystyle \frac{ x^2-4x+3}{ x-2}< 0\) в виде \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{ x-2}< 0{\small }\)
По правилу
ПравилоРазложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+bx+c=\color{red}{ a}(x-\color{blue}{x_1})(x-\color{blue}{x_2}){ \small ,}\)
где \(\displaystyle \color{blue}{x_1 }\) и \(\displaystyle \color{blue}{x_2} \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+bx+c=0{\small .}\)
получаем
\(\displaystyle x^2-4x+3=(x-\color{blue}{1})(x-\color{blue}{3}){ \small .}\)
и определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{ x-2}\) на каждом из интервалов: Из интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\)
\(\displaystyle f(10)=\frac{(10-1)(10-3)}{ 10-2}=\frac{9 \cdot 7}{ 8}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:
ПравилоРасстановка знаков в методе интервалов для дробно-рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)
- Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
- При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
- если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
- если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.
Если множитель \(\displaystyle (x-a)\) входит в числитель и знаменатель дробно-рациональной функции, его степень может быть определена как разность степеней.
В нашем случае в выражение
\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{ x-2}\)
Значит, знаки функции на интервалах чередуются.
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{ x-2}<0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, то
\(\displaystyle (-\infty;1)\cup(2;3)\) – решение неравенства \(\displaystyle {\frac{ x^2-4x+3}{ x-2}}< 0{\small .} \)
Поскольку исходное выражение
\(\displaystyle \sqrt{\frac{ x^2-4x+3}{ x-2}}{\small } \)
не имеет смысла и при \(\displaystyle x=\color{red}{2}{\small ,} \) объединим эту точку с решением неравенства
\(\displaystyle {\frac{ x^2-4x+3}{ x-2}}< 0{\small .} \)
В итоге получаем
\(\displaystyle x \in (-\infty;1) \cup \color{red}{\textbf{[}2};3){\small }\) – это и есть искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;1)\cup[2;3){\small .}\)