При каких значениях \(\displaystyle x\) имеет смысл выражение
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x}{ 2x-4}}+\sqrt{5-x}\,{\small ?} \)
\(\displaystyle x \in \)
Так как квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, выражение
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x}{ 2x-4}}+\sqrt{5-x}{\small } \)
имеет смысл, если одновременно выполнены два неравенства:
\(\displaystyle \frac{x}{ 2x-4}\geqslant 0\) и \(\displaystyle 5-x\geqslant 0{\small .} \)
Значит, требуется решить систему неравенств:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned}5-x&\geqslant0{\small , }\\\frac{x}{ 2x-4}&\geqslant 0{\small . }\end{aligned} \right. \)
Решим каждое из неравенств системы.
Решение линейного неравенства \(\displaystyle 5-x\geqslant0{\small :}\)
\(\displaystyle x\leqslant 5{\small .}\)
Решение дробно-рационального неравенства \(\displaystyle \frac{x}{ 2x-4}\geqslant 0{\small :}\)
\(\displaystyle x \leqslant 0 {\small ;}\)\(\displaystyle x > 2{\small .}\)
Найдём пересечение полученных решений:
Видим, что решение системы неравенств – это объединение промежутков \(\displaystyle (-\infty;0] \cup(2;5] {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in(-\infty;0] \cup(2;5]{\small .} \)