Теория: 12 Применение дробно-рациональных неравенств для нахождения значения переменной согласно заданным условиям (сравнение выражений) (короткая версия)

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{x}{x-3}- \frac{4}{x-4} &=\frac{x(x-4)-4(x-3)}{(x-3)(x-4)} =\\[10px]&= \frac{x^2-4x-4x+12}{(x-3)(x-4)} =\frac{x^2-8x+12}{(x-3)(x-4)}{\small .}\end{aligned}\)

Решим квадратное уравнение: 

\(\displaystyle x^2-8x+12=0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-8)^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{16}=4{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-8)+4}{2}=\frac{12}{2}=6{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-8)-4}{2}=\frac{4}{2}=2{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle x=6 \) и \(\displaystyle x=2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-8x+12=0{\small .} \)

\(\displaystyle (x-3)(x-4)=0{\small ,}\)

\(\displaystyle x-3=0\)   или \(\displaystyle x-4=0{\small ,}\)

\(\displaystyle x=3\)   или \(\displaystyle x=4{\small .}\)

Поскольку неравенство строгое, то 

• все нули числителя и знаменателя обозначаются выколотыми.

Значит,  \(\displaystyle x=2{\small ,} \, x=3{\small ,} \, x=4\) и \(\displaystyle x=6\) обозначаются выколотыми точками.

По правилу

получаем

\(\displaystyle x^2-8x+12=(x-\color{blue}{2})(x-\color{blue}{6}){ \small .}\)

Из интервала \(\displaystyle (6;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\) 

\(\displaystyle f(10)=\frac{(10-2)(10-6)}{ (10-3)(10-4)}=\frac{8 \cdot 4}{ 7 \cdot 6}>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (6;+\infty){\small :}\)

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)(x-6)}{ (x-3)(x-4)}\)

• все линейные множители входят в нечётной степени.

Значит, знаки функции на интервалах чередуются.