Теория: 12 Применение дробно-рациональных неравенств для нахождения значения переменной согласно заданным условиям (сравнение выражений) (короткая версия)

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{x-1}{x-3}-1-\frac{1}{x-2} &= \frac{(x-1)(x-2)-(x-2)(x-3) -(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\\[10px]&= \frac{x^2-2x-x+2-(x^2-3x-2x+6)-x+3}{(x-2)(x-3)} =\\[10px]&=\frac{\color{Blue}{x^2}-\color{Green}{2x}-\color{Green}{x}+2-\color{Blue}{x^2}+\color{Green}{3x}+\color{Green}{2x}-6-\color{Green}{x}+3}{(x-2)(x-3)} =\\[10px]&=\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}{\small .}\end{aligned}\)

\(\displaystyle x-1=0{\small ,}\)

\(\displaystyle x=1{\small .}\)

\(\displaystyle (x-3)(x-3)=0{\small ,}\)

\(\displaystyle x-2=0\)   или \(\displaystyle x-3=0{\small ,}\)

\(\displaystyle x=2\)   или \(\displaystyle x=3{\small .}\)

Поскольку неравенство нестрогое, то 

• все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
• все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Значит,  \(\displaystyle x=1\) обозначается закрашенной точкой, а \(\displaystyle x=2 \) и \(\displaystyle x=3\) – выколотыми.

Из интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\) 

\(\displaystyle f(10)= \frac{10-1}{(10-2)(10-3)} =\frac{9 }{ 8 \cdot 7}> 0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small :}\)

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\)

• все линейные множители входят в нечётной степени.

Значит, знаки функции на интервалах чередуются.