Skip to main content

Теория: 12 Применение дробно-рациональных неравенств для нахождения значения переменной согласно заданным условиям (сравнение выражений) (короткая версия)

Задание

При каких значениях \(\displaystyle x\) график функции \(\displaystyle y=\frac{x}{x-3}\) расположен выше прямой \(\displaystyle y=2 {\small ?}\)


\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

График функции \(\displaystyle y=\frac{x}{x-3}\) расположен выше прямой \(\displaystyle y=2 {\small ,}\) если выполнено неравенство

\(\displaystyle \frac{x}{x-3}>2 {\small .}\)

Преобразуем неравенство к стандартному виду. Для этого перенесём \(\displaystyle 2\) в левую часть и получим ноль в правой:

\(\displaystyle \frac{x}{x-3}- 2>0{\small .} \)

После приведения левой части неравенства к общему знаменателю получим:

\(\displaystyle \frac{6-x}{x-3} > 0{\small .} \)

Решим полученное дробно-рациональное неравенство методом интервалов.


Шаг 1. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя \(\displaystyle 6-x{\small :} \)

\(\displaystyle x=6{\small .}\)

Нули знаменателя \(\displaystyle x-3{\small :} \)

\(\displaystyle x=3{\small .}\)

Шаг 2. Нанесем на координатную прямую найденные значения и получим \(\displaystyle 3\) интервала: 


 

Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{6-x}{x-3}\) на каждом из интервалов: 


Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{6-x}{x-3}>0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, то

\(\displaystyle (3;6)\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in (3;6){\small .}\)