Известны скалярные произведения векторов, соответствующих сторонам треугольника \(\displaystyle ABC{\small:}\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=36\small.\)
Определите тип этого треугольника:
треугольник \(\displaystyle ABC\) –
Скалярным произведением векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) называется число
\(\displaystyle \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}),\)
где \(\displaystyle \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}\)– угол между векторами \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}.\)
Рассмотрим скалярное произведение, равное \(\displaystyle 0{\small:}\) \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0=|\overrightarrow {BA}| \cdot |\overrightarrow {BC}|\cdot\cos\alpha\small.\) Поскольку векторы \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) ненулевые, то их длина не равна нулю. Тогда можно поделить на \(\displaystyle |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow {BC}|\small,\) получаем: \(\displaystyle \cos\alpha=\frac{0}{|\overrightarrow {BA}| \cdot |\overrightarrow {BC}|}=0\small.\) |  |
Единственный угол от \(\displaystyle 0^{\circ}\) до \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) косинус которого равен \(\displaystyle 0\small,\) – это \(\displaystyle 90^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle \alpha=90^{\circ}\small.\)
То есть треугольник \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный.