Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых любое число является решением системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned}|x| & > 5-p{\small , }\\| x |& > p-7{\small . }\end{aligned} \right. \)
\(\displaystyle p \in \)
Любое число является решением системы двух неравенств тогда и только тогда, когда у каждого из неравенств системы решение – любое число.
Используем правило
Решение неравенства \(\displaystyle \small{\left|x\right|> a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то решениями неравенства \(\displaystyle |x|>a\) будут значения
\(\displaystyle x<-a{\small}\) и \(\displaystyle x>a{\small,}\)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;-a)\cup (a;+\infty ){\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Решениями неравенства \(\displaystyle |x|>0\) будут значения
\(\displaystyle x<0{\small}\) и \(\displaystyle x>0{\small,}\)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty ){\small.}\)
\(\displaystyle 3)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a< 0\)), то решениями неравенства \(\displaystyle |x|>a\) будут любые значения \(\displaystyle x{\small,}\)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty ){\small.}\)
Любое число является решением неравенства
\(\displaystyle |x| > 5-p{\small }\)
тогда и только тогда, когда
\(\displaystyle 5-p<0{\small,}\)
\(\displaystyle p>5{\small.}\)
Любое число является решением неравенства
\(\displaystyle |x| > p-7{\small }\)
тогда и только тогда, когда
\(\displaystyle p-7<0{\small,}\)
\(\displaystyle p<7{\small.}\)
Любое число является решением исходной системы двух неравенств тогда и только тогда, когда выполняются оба условия \(\displaystyle p>5{\small}\) и \(\displaystyle p<7{\small,}\) то есть
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned}p & > 5{\small , }\\p& < 7{\small . }\end{aligned} \right. \)
Найдём пересечение полученных множеств:
Видим, что искомое множество – это промежуток \(\displaystyle ( 5 ;7) {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle p\in ( 5 ;7){\small .}\)