На плоскости отмечен отрезок \(\displaystyle AB\small.\) Найдите множество точек плоскости \(\displaystyle M\) таких, что площадь треугольника \(\displaystyle ABM\) равна \(\displaystyle 1\small.\)
Точки имеют координаты: \(\displaystyle A(3;\,1)\) и \(\displaystyle B(2;\,4)\small.\)
Выберите все уравнения, которые описывают множество точек \(\displaystyle M\small.\)
Обозначим координаты точки \(\displaystyle M \) как \(\displaystyle (x;\,y)\small.\)
Тогда запишем условие, что площадь треугольника \(\displaystyle MAB\) равна \(\displaystyle 1\small,\) в координатах.
\(\displaystyle S_{MAB}=\left|5-1{,}5y-1{,}5x\right|\)
Пусть векторы \(\displaystyle \overrightarrow{AB}(x_1,y_1)\) и \(\displaystyle \overrightarrow{AD}(x_2,y_2)\) \(\displaystyle S_{ABCD}=|x_1y_2-x_2y_1|\small.\) Число \(\displaystyle x_1y_2-x_2y_1\) называется ориентированной площадью параллелограмма. |  |
1. Достроим треугольник \(\displaystyle MAB\) до параллелограмма \(\displaystyle MANB{\small:}\)
(Чтобы достроить до параллелограмма, необходимо провести \(\displaystyle MB||AN\) и \(\displaystyle BN||MA\small.\))
2. Найдем площадь параллелограмма \(\displaystyle MANB\small.\)
Координаты векторов:
\(\displaystyle \overrightarrow{MA}(3-x;\,1-y)\) и \(\displaystyle \overrightarrow{MB}(2-x;\,4-y)\small.\)
Тогда площадь параллелограмма, образованного векторами \(\displaystyle \overrightarrow{MA}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{MB}{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}S_{MANB}=|x_1y_2-x_2y_1|=|(3-x)\cdot(4-y)-(1-y)\cdot (2-x)|=\\=|(12-3y-4x+xy)-(2-x-2y+xy)|=|10-y-3x|\small.\end{aligned}\small.\)
3. Диагональ \(\displaystyle AB\) разбивает параллелограмм \(\displaystyle MANB\) на два равных треугольника \(\displaystyle MAB\) и \(\displaystyle NAB\small.\)
Тогда площадь треугольника \(\displaystyle MAB\) равна половине площади параллелограмма \(\displaystyle MANB{\small:}\)
\(\displaystyle S_{MAB}=\frac{S_{MANB}}{2}=\frac{|10-y-3x|}{2}=|5-0{,}5y-1{,}5x|\small.\)
По условию
\(\displaystyle |5-0{,}5y-1{,}5x|=1\small.\)
Данное условие с модулем равносильно двум условиям:
\(\displaystyle \left[\begin{gathered}5-0{,}5y-1{,}5x=1,\\-(5-0{,}5y-1{,}5x)=1.\end{gathered}\right.\)
Получили, что точка \(\displaystyle M\) лежит на одной из двух прямых:
\(\displaystyle -1{,}5x-0{,}5y+4=0\) или \(\displaystyle 1{,}5x+0{,}5y-6=0\small.\)
Эти уравнения равносильны предложенным уравнениям:
\(\displaystyle -1{,}5x-0{,}5y+4=0\) и \(\displaystyle 3x+y-12=0\small.\)