Skip to main content

Теория: 12 Ориентированная площадь (короткая версия)

Задание

Вершины параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) точки \(\displaystyle A(2;\,-3),\,B(6;\,-2),\,C(8;\,-4),\,D(4;\,-5)\) Найдите его площадь:

\(\displaystyle S_{ABCD}=\)
10
Решение

Правило

Пусть векторы \(\displaystyle \overrightarrow{AB}(x_1,y_1)\) и \(\displaystyle \overrightarrow{AD}(x_2,y_2)\)
задают параллелограмм \(\displaystyle ABCD\small.\) Тогда его площадь равна

\(\displaystyle S_{ABCD}=|x_1y_2-x_2y_1|\small.\)

Число \(\displaystyle x_1y_2-x_2y_1\) называется ориентированной площадью параллелограмма.

Чтобы найти площадь параллелограмма:

  • найдем координаты векторов \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AD\small,\)
  • используя правило, найдем площадь параллелограмма \(\displaystyle ABCD\small.\)

Координаты векторов:

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}(4;\,1)\) и \(\displaystyle \overrightarrow{AD}(2;\,-2)\small.\)

Тогда площадь параллелограмма, образованного векторами \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{AD}{\small:}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=|x_1y_2-x_2y_1|=|4\cdot(-2)-2\cdot1|=10\small.\)


Ответ: \(\displaystyle S_{ABCD}=10\small.\)