Требуется построить биссектрису \(\displaystyle AL\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\) Для этого построены две окружности.
Первая с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AC\) пересекла сторону \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle D{\small .}\)
Вторая с центром \(\displaystyle D\) и радиусом \(\displaystyle BD\) пересекла первую в точках \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle F{\small .}\)
Дополните описание оставшихся действий.
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | Провести окружность с центром и радиусом Выбрать точку \(\displaystyle K\) на пересечении этой окружности и |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | Получить точку \(\displaystyle L\) на пересечении:
|
Биссектриса \(\displaystyle AL\) треугольника является частью биссектрисы его угла при вершине \(\displaystyle A{\small .}\)
Для того чтобы построить биссектрису угла \(\displaystyle ab\) с вершиной \(\displaystyle O{ \small ,}\) нужно выполнить следующие действия.
\(\displaystyle 1{\small .}\) Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла, чтобы отложить на его сторонах равные отрезки \(\displaystyle OA\) и \(\displaystyle OB{\small .}\)
\(\displaystyle 2{\small .}\) Провести две окружности одного и того же радиуса с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\)
Радиус окружностей должен быть большим, чем половина длины отрезка \(\displaystyle AB.\) Подойдут, например, сама длина отрезка \(\displaystyle AB\) или длина отрезка \(\displaystyle OA{\small .}\)
\(\displaystyle 3{\small .}\) Соединить вершину угла лучом с любой из точек пересечения окружностей.
Этот луч и будет биссектрисой, так как треугольники \(\displaystyle ALO\) и \(\displaystyle BLO\) оказываются равными по трём сторонам. В этих равных треугольниках равны углы \(\displaystyle AOL\) и \(\displaystyle BOL{\small .}\)
Пойдем по приведенному алгоритму для угла \(\displaystyle A{\small .} \)
1. Первая окружность проведена с центром в точке \(\displaystyle A{\small .} \) Это дало точки \(\displaystyle C \) и \(\displaystyle D{\small ,} \) которые будут центрами двух новых окружностей с равными радиусами.
2. Одна из новых окружностей проведена с центром в точке \(\displaystyle D \) и радиусом \(\displaystyle BD{\small .} \)
Значит, третьей следует построить окружность с центром \(\displaystyle C\) и радиусом \(\displaystyle BD{\small .}\)
3. В качестве точки \(\displaystyle K\) можно выбрать любую из точек пересечения второй и третьей окружностей.
На всякий случай проверяем, что угол \(\displaystyle CAD\) делится пополам лучом \(\displaystyle AK{\text :}\)
- Кроме общей стороны в треугольниках \(\displaystyle ACK\) и \(\displaystyle ADK\) есть ещё две пары равных сторон: \(\displaystyle AC=AD\) и \(\displaystyle CK=DK{\small ,}\) как равные радиусы соответствующих окружностей.
- Равенство треугольников (по трём сторонам) означает равенство их углов при вершине \(\displaystyle A{\small .}\) То есть угол \(\displaystyle CAD\) делится лучом \(\displaystyle AK\) пополам.
Получаем второй конец \(\displaystyle L\) биссектрисы \(\displaystyle AL\) треугольника \(\displaystyle ABC\) как общую точку прямой \(\displaystyle AK\) и стороны \(\displaystyle BC{\small .}\)
Проведение прямой \(\displaystyle AK\) обеспечило и проведение биссектрисы треугольника как её части.
Построение выполнено.
Дополняем его описание в соответствии с выполненными действиями.
| Ответ: |  |