Skip to main content

Теория: 06 Построение биссектрисы угла (короткая версия)

Задание

Дан треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\)

Требуется построить треугольник \(\displaystyle ABD{\small ,}\) у которого угол при вершине \(\displaystyle A\) в два раза меньше, чем в исходном треугольнике, а сторона \(\displaystyle BD\) равна стороне \(\displaystyle BC\) исходного треугольника.

На рисунке, кроме исходного треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) четыре окружности и прямая, проведённые в ходе построения. Отмечены (но не подписаны) точки пересечения некоторых из них.

Центры окружностей расположены только в отмеченных точках.

Дополните описание этого построения вершины \(\displaystyle D\) треугольника \(\displaystyle ABD{\small .}\)

\(\displaystyle 1.\) Обеспечиваем два равных отрезка на сторонах угла, который собираемся делить пополам. Один из отрезков \(\displaystyle -\) сторона треугольника. 

Конец другого \(\displaystyle -\) точку \(\displaystyle K\) получаем на пересечении

  • стороны 
  • и окружности с центром  и радиусом 

\(\displaystyle 2.\) Одну из точек \(\displaystyle L\) биссектрисы получаем на пересечении двух окружностей

  • окружности с центром \(\displaystyle B\) и радиусом 
  • и окружности с центром  и радиусом 

\(\displaystyle 3.\) Вершину искомого треугольника ищем на биссектрисе угла. Она также принадлежит окружности, образованной точками, удалёнными на нужное расстояние от вершины \(\displaystyle B{\small .}\)

Выбираем в качестве вершины \(\displaystyle D\) одну из двух точек пересечения

  • прямой 
  • и окружности с центром  и радиусом 

 

Решение

Вершину \(\displaystyle D\) искомого треугольника нужно искать на пересечении биссектрисы угла \(\displaystyle BAD\) и окружности с центром в вершине \(\displaystyle B{\small .}\)

Рассмотрим нужный нам треугольник.

Его вершина \(\displaystyle D\) принадлежит биссектрисе угла \(\displaystyle BAC{\small ,}\) так как в искомом треугольнике угол при вершине \(\displaystyle A\) является одной из двух равных частей угла исходного треугольника.

С другой стороны, равенство сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BD\) означает, что точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) находятся на одинаковом расстоянии от вершины \(\displaystyle B{\small .}\) Значит, они обе принадлежат окружности с центром \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle BC{\small .}\)

Получается, что точку \(\displaystyle D\) можно найти на пересечении этой окружности с биссектрисой угла \(\displaystyle BAC{\small .}\)

Приступаем к построению.

1. Из таблицы с описанием построения видно, что оно начинается с биссектрисы. Это делается по известному алгоритму.

Для деления угла пополам сначала на его сторонах отмеряются равные отрезки. Это делается с помощью окружности с центром в вершине угла.

На рисунке только одна подходящая окружность с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AB{\small .}\) Она проходит через точу \(\displaystyle B\) стороны \(\displaystyle AB{\small ,}\) а на стороне \(\displaystyle AC\) откладывает отрезок, равный отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)

Заполняем первую строку таблицы описания построения, а полученную точку на стороне \(\displaystyle AC\) обозначаем, как написано в таблице, через \(\displaystyle K{\small .}\)

2. Для второго этапа построения биссектрисы нужны две окружности одинакового радиуса с центрами в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle K{\small .}\)

На рисунке находим две окружности с центрами \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle K\) и радиусами \(\displaystyle AB{\small .}\)

Заполняем  параметрами этих окружностей вторую строку таблицы. Найденную точку пересечения обозначаем \(\displaystyle L{\small .}\)

Соединяя точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle L{\small ,}\) получим биссектрису угла \(\displaystyle BAC{\small .}\)

3. Наконец пересечём построенную биссектрису с окружностью, на которой находятся все точки, удалённые от точки \(\displaystyle B\) на расстояние \(\displaystyle BC{\small .}\)

Оставшаяся окружность с центром \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle BC\) как раз является необходимой.

Заполняем последнюю строку таблицы.

Точка \(\displaystyle D\) расположена на требуемом расстоянии от точки \(\displaystyle B\) и угол \(\displaystyle BAD\) равен половине угла \(\displaystyle BAC{\small ,}\) так как точка \(\displaystyle D\) принадлежит биссектрисе последнего.

Построение выполнено.

Ответ: