Skip to main content

Теория: 06 Построение биссектрисы угла (короткая версия)

Задание

На чертеже две хорды \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MN\) окружности, центр которой не отмечен.

Требуется отметить на этой окружности точку \(\displaystyle F\) так, чтобы высоты треугольников \(\displaystyle ABF\) и \(\displaystyle MNF{\small ,}\) проведённые к сторонам \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MN{ \small ,}\) оказались равными.

Дополните описание построения этой точки.

\(\displaystyle 1{\small .}\)

 Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 2{\small .}\)

 Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 3{\small .}\)

 Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 4{\small .}\)

 Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Спланируем построение, поэтапно подберём необходимые фрагменты из предложенных вариантов.

Решение задачи сводится к построению биссектрисы угла.

Рассмотрим искомую точку \(\displaystyle F{\small .}\)

Высоты треугольников \(\displaystyle ABF\) и \(\displaystyle MNF~-\) перпендикуляры к их сторонам \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MN{\small .}\) Равенство высот означает равенство расстояний от точки \(\displaystyle F\) до прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MN{\small .}\)

Равноудалённые от двух прямых точки расположены на биссектрисах углов, образованных при их пересечении.

Если найти общую точку одной из таких биссектрис и окружности, то задача будет решена.

Для этого нужно построить биссектрису угла, образующегося при пересечении продолжений хорд.

Первым шагом построения следует получить вершину угла.

Для построения биссектрисы угла необходима его вершина.

Чтобы получить её, надо продлить хорды.

Находим фрагмент, в котором пересекаются две прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MN{\small .}\) Точка их пересечения в этом фрагменте обозначена буквой \(\displaystyle D{\small .}\)

Для построения биссектрисы угла сначала следует отложить от его вершины равные отрезки на сторонах.

Находим фрагмент, где проводится окружность с центром \(\displaystyle D{\small ,}\) которая пересекает одну из сторон угла.

В найденном фрагменте окружность имеет радиус \(\displaystyle DN{\small .}\) При этом на сторонах угла откладываются два равных отрезка \(\displaystyle DN\) и \(\displaystyle DP{\small .}\)

На втором этапе построения биссектрисы нужны две окружности равных радиусов с центрами в точках \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle P{\small .}\)

Находим единственный такой фрагмент. В качестве радиуса используется длина отрезка \(\displaystyle DN{\small ,}\) а точка пересечения окружностей обозначена через \(\displaystyle L{\small .}\)

Завершаем построение биссектрисы и находим точку её пересечения с исходной окружностью.

Для построения биссектрисы остаётся только соединить лучом \(\displaystyle DL\) вершину угла и найденную точку \(\displaystyle L{\small .}\)

Находим фрагмент, в котором этот луч пересекается с исходной окружностью. Их общая точка \(\displaystyle F\) (обратим внимание, что на рисунке таких точек две, и можно выбирать любую) и есть цель построения.

Построение выполнено.

 

Ответ: