В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Пусть этот центр – точка \(\displaystyle O\small.\)
Обозначим за \(\displaystyle r\) радиус вписанной окружности, за \(\displaystyle R\) – описанной.
Выразите \(\displaystyle r\) через \(\displaystyle R\) и \(\displaystyle n{\small:}\)
\(\displaystyle r=\)
То есть они все равны \(\displaystyle \frac{360^{\circ}}{n}\small.\)
В равнобедренном треугольнике \(\displaystyle AOB\) биссектриса совпадает с высотой. Значит, в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle AOH\) имеем \(\displaystyle \angle AOH=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{180^{\circ}}{n}\small.\) Тогда в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle AOH{\small:}\) \(\displaystyle OH=OA\cdot\cos\angle AOH=OA\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\) \(\displaystyle OH=r\) и \(\displaystyle OA=R\small,\) тогда: \(\displaystyle r=R\cdot \cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle r=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)